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1、二 圆内接四边形的性质与判定定理1.圆内接四边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.(2)如果四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.名师点拨任意三角形都有外接圆,任意正方形、矩形都有外接圆,但并不是所有四边形都有外接圆.2.圆内接四边形的性质定理(1)性质定理1:圆的内接四边形的对角互补.如图,若四边形ABCD内接于圆O,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.该定理的作用是证明两个角互补.(2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的
2、对角.如图,若四边形ABCD内接于圆O,E为AB延长线上一点,则∠CBE=∠ADC.该定理的作用是证明两个角相等.名师点拨1.圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法.2.注意几个常用结论:(1)内接于圆的平行四边形是矩形;(2)内接于圆的菱形是正方形;(3)内接于圆的梯形是等腰梯形.【做一做1】如图,四边形ABCD内接于圆O.若∠A=2∠C,则∠C=;若∠ADC=85°,则∠ABE=.解析:因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠A+∠C=180°.又∠A=2∠C,所以∠C=60°.又因为∠ADC=∠
3、ABE,∠ADC=85°,所以∠ABE=85°.答案:60°85°3.圆内接四边形的判定定理(1)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°(或∠B+∠D=180°),则A,B,C,D四点共圆.该定理的作用是证明四点共圆.(2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,延长AB到E,若∠CBE=∠ADC,则A,B,C,D四点共圆.该推论的作用是证明四点共圆.名师点拨判断或证明四点共圆的常用方法:(1)如果四个点与一定点的距离相
4、等,那么这四个点共圆;(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆;(4)如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等,且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆.【做一做2】如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°.求证:A,B,C,D四点共圆.证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.∴∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.∴A,B,C,D四点共圆.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括
5、号内画“√”,错误的画“×”.(1)任意矩形都有唯一的外接圆.()(2)菱形一定有外接圆.()(3)任意正多边形都有外接圆.()(4)圆内接梯形一定是等腰梯形.()答案:(1)√(2)×(3)√(4)√探究一探究二规范解答当堂检测圆内接四边形性质定理的应用【例1】(1)如图,已知☉O的内接四边形ABCD,AB和DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q.若∠A=50°,∠P=30°,求∠Q的度数.(2)如图,在☉O中,AC=AB,E是弦BC延长线上的一点,AE交☉O于点D.求证:AC2=AD·AE.探究一探究二规范解答当堂检测分析:(1)先利用圆内接
6、四边形的性质求得∠CDQ和∠DCQ的度数,再利用三角形的内角和定理求得∠Q的度数;(2)可先考虑证明△ADC∽△ACE,得到比例式后,再转化为欲证等积式.(1)解:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠QCD=∠A=50°.又∠P=30°,∴∠CDQ=∠P+∠A=80°,故∠Q=180°-80°-50°=50°.(2)证明:如图,连接DC,∵AC=AB,∴∠ACB=∠B.又四边形ABCD内接于☉O,∴∠EDC=∠B,∴∠ACB=∠EDC,∴∠ADC=∠ACE.∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE,探究一探究二规范解答当堂检测反思感悟1.因为圆内接四
7、边形的性质主要涉及有关角的关系,所以在圆内求角的大小以及证明角之间的相等关系时,要发现和构造圆内接四边形,利用两个性质定理进行求解和证明.2.在圆内证明等积式时,由于比例式是等积式的一种特殊形式,因此可转化为比例式,只需找到包含所证线段的两个三角形来证明.而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质定理,得出对应的角相等.探究一探究二规范解答当堂检测变式训练1如图,☉O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为☉O上一点,AE=AC.求证:∠PDE=∠POC.证明:连接BE,BC.∵AE=AC,AB为直径,∴在Rt△ABE和Rt△ABC中,∠ABE=
8、∠ABC,∠AEB=∠ACB,AE=AC.∴Rt△ABE≌Rt△A
