第1章 极限与连续.ppt

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1、第1章极限与连续1.1初等函数1.2函数的极限1.3无穷小量与无穷大量1.4极限的运算1.5两个重要极限1.6函数的连续性复习题11.1初等函数1.1.1常量与变量在观察某种自然现象或进行某项科学实验的过程中，常涉及一些事物的数量变化情况.例如，一物体作匀速直线运动，那么时间与位移的大小都是变量，而速度则为常量.又如，一密闭容器内的气体在加热过程中，需要考虑容器内气体的体积V、分子数n、绝对温度T以及压力P，其中体积V与分子数n两个数量在整个过程中保持不变，而绝对温度T与压力P则不断变化.一般地，我

2、们把在某个过程中保持一定数值的量称为常量，把可以取不同数值的量称为变量.应当注意，一个量究竟是常量还是变量是由该过程的具体条件来确定的.同一个量在这个过程中是常量，而在另一个过程中却有可能是变量.例如速度，在匀速运动中是常量，而在匀加速运动中是变量.1.1.2区间与邻域1.区间一个变量能取得的全部数值的集合，称为这个变量的变化范围或变域.今后我们常遇到的变域是区间.所谓变量x的区间就是介于两实数a与b之间的一切实数，在数轴上就是从a到b的线段.a与b称为区域的端点，当a＜b时，a称为左端点，b称为

3、右端点.(1)闭区间：满足不等式a≤x≤b的所有实数x的集合，称为以a、b为端点的闭区间，记为［a,b］，见图1-1，即［a,b］=｛x｜a≤x≤b｝图1-1(2)开区间：满足不等式a＜x＜b的所有实数x的集合，称为以a,b为端点的开区间，记为(a,b)，见图1-2，即(a,b)=｛x｜a＜x＜b｝图1-2(3)半开区间：满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的所有实数x的集合，称为以a,b为端点的半开区间，记为(a,b］(或［a,b))，分别见图1-3和图1-4，即(a,b］=｛x｜a＜x≤b｝［

4、a,b)=｛x｜a≤x＜b｝图1-3图1-4(4)(a,+∞)=｛x｜x＞a｝［a,+∞)=｛x｜x≥a｝(-∞,b)=｛x｜x＜b｝(-∞，b］=｛x｜x≤b｝它们在数轴上表现为长度为无限的半直线，如图1-5所示.全体实数的集合R也记为(-∞，+∞)=｛x｜-∞＜x＜+∞｝图1-52.邻域设δ是一个正数，对于数轴上一点x0,我们把以x0点为中心，长度为2δ的开区间(x0-δ，x0+δ)称为点x0的δ邻域(见图1-6)，可用不等式｜x-x0｜＜δ表示.正数δ称为这个邻域的半径.若在点x0的邻

5、域内去掉x0点，其余部分称为点x0的去心邻域，可用不等式0＜｜x-x0｜＜δ表示.图1-61.1.3函数概念在讨论函数的概念之前，我们先来看几个实际生活中的例子.例1某会员制商店对会员购物提供优惠，会员可按商品价格的85%购买商品，但每年需交纳会员费300元.问：若某人只在此商店购物，至少需购多少钱的商品(按商品价格计算)才能真正受惠?一年内实际受惠多少钱?解假设按商品价格计算此人一年内购买x元的商品，获得商品优惠(即在商品上少付的钱)0.15x，但因交纳了300元会员费，因此实际获得的优惠y是0

6、.15x-300.按此公式我们可以计算出表1-1.表1-1例2火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg时，按基本运费0.15元/kg收费；当超过50kg时，超重部分按0.25元/kg收费，则运费y与重量x之间的关系为：0.15x0＜x≤500.15×50+0.25×(x-50)x＞50y=例3某气象站用自动温度记录仪记下一昼夜气温,如图1-7所示.由上面例子看到，各例中各有两个变量且两变量之间都有一定的对应关系，这种对应关系，正是函数概念的实质.图1-7定义1.1设x和y是某过程中的两

7、个变量，D是一个给定的数集.如果对于D中的每一个数x，变量y按照某种对应法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记为y=f(x).数集D称为这个函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量.因变量y所对应的数值范围称为函数的值域.当x=x0∈D时，对应的函数值记为f(x0).由定义可看出，确定函数有两个要素：定义域和对应法则.函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其他字母，如函数y=φ(x)，y=ψ(x),y=F(x)等.例4求下列函数的定义域：解(1)根据对数真数必须为正数，有即1-x2

8、＞0，解之，得-1＜x＜1.所以定义域为｛x｜-1＜x＜1｝或记为(-1，1).(2)函数是一个分式且分母开平方，所以有sinx＞0解之，得2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，所以定义域D=｛x｜2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z｝.例5下列各对函数是否相同?为什么?(1)f(x)=x/x;p(x)=1(2)f(x)=x;p(x)=解(1)不相同.因为定义域不同；f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)，而p(x)的定义域为(-∞，+∞).(2)不相同.因为对应关系不同，