2、gt,y,,yc1nm适当的边界条件第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束静态最优化等式约束问题:nMinfx,xES.T.hx0,i1,2,,mi构造拉格朗日函数:mLx,fxhxiii1T,,,为拉格朗日乘子12m第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束静态最优化等式约束问题:最优解满足拉格朗日条件:mLx,fxhxii0,j1,,nxjxji1xjLLx,hx0
3、,i1,,miim最小化Lx,fxihixi1等价于满足约束条件的最小化fx第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束静态最优化等式约束问题:约束条件有时候是这种形式:nMinfx,xES.T.hxC,i1,2,,mii拉格朗日函数:mLx,fxiCihixi1拉格朗日乘子的经济学含义:外生参数C的影子价格ii第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束静态最优化等式约束问题:最优解满足拉格朗日条件:mLx
4、,fxhxii0,j1,,nxjxji1xjLLx,Chx0,i1,,miiim最小化Lx,fxiCihixi1等价于满足约束条件的最小化fx第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束TMaxVFt,y,,y,y,,ydt1n1n01mS.T.gt,y,,yc,,gt,y,,yc1n11nm求解方法(拉格朗日乘子法):构造一个拉格朗日被积函数:1mLFλtcgλtc
5、g11mm与静态最优化拉格朗日函数区别:1)静态问题中,拉格朗日乘子被加入原始目标函数,变分法是加入被积函数;2)拉格朗日乘子不是常数,而是时间t的函数。第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束把原问题TMaxVFdt01mS.T.gt,y,,yc,,gt,y,,yc1n11nmT变换为:MaxLdt01m其中:LFλtcgλtcg11mm只要原问题的所有约束条件被满足,F的值就等于L的值泛函的自由极值将对应于泛函V的约束极值第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类
6、型(1)等式约束把拉格朗日乘子处理为附加状态变量(保证约束条件成立)此问题的最优解满足欧拉—拉格朗日方程:dLL0对于所有的t0,T(j1,,n)yjyjdtdLL0对于所有的t0,T(i1,,m)iidtd由于Li0,欧拉方程LiLi0可简化为:dtiLcg0对于所有的t0,Tλii(与给定约束条件相吻合)第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束例子:T221/2MinV1yzdt0S.T.t,y,z0y0y,yTy,z0
7、z,zTz0T0T两个状态变量和一个等式约束条件第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束构造拉格朗日被积函数:221/2LFt01yztt,y,z求:221/2LytyLyy1yz221/2LztzLzz1yzLt,y,z0L0第六讲变分法约束问题(一)约束的四种基本类型(1)等式约束欧拉—拉格朗日方程条件:ddLL0LL0对于所有的t0,TyyzzdtdtdLL0
8、对于所有的t0,Tdt得:d221/2ty1yz0ydtd