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1、*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积第八章一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为记作故2.性质为两个非零向量,则有3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;例1.证明三角形余弦定理证:如图.则设4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得解为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该
2、平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:4.向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法(行列式计算见《线性代数》)向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出例如，例4.已知三点角形ABC的面积.解:如图所示,求
3、三解解18▲向量在轴上的投影与投影定理.▲向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.▲向量的模与方向余弦的坐标表示式.七、小结（注意分向量与向量的坐标的区别）▲向量的数量积、向量的向量积、▲向量的混合积、（注意共线、共面的条件）一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l上引进一个角速度向量使其在l上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2.混合积的坐
4、标表示设3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例7.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点M的坐标x、y、z所满足的方程.解:A、B、C、M四点共面展开行列式即得点M的坐标所满足的方程AM、AB、AC三向量共面即内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:思考与练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:证:由三角形面积
5、公式所以因P223,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节作业备用题1.已知向量的夹角且解：在顶点为三角形中,求AC边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有
