2006年全国高中数学联合竞赛一试试卷.pdf

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1、2006年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知△ABC，若对任意t∈R，BA−tBC≥AC，则△ABC（）A．必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定22.设log(2xx+−>1)log21−，则x的取值范围为（）xx11A．<≠,1xC．x>1D．010},ab,∈N，且AB∩∩N={2,3,4}，则整数对()a,b的个数为（）.A.20B.25

2、C.30D.42π4.在直三棱柱ABC−ABC中，∠BAC=，AB=AC==AA1.已知Ｇ与Ｅ分别为11112AB和CC的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若GD⊥EF，111则线段DF长度的取值范围为（）⎡⎞1⎡⎞1⎡5⎞A.⎢,1⎟B.⎢,2⎟C.⎡⎣1,2)D.⎢,2⎟⎟⎣⎠5⎣⎠5⎣5⎠325.设fxx()=+log2(x++x1)，则对任意实数ab,，ab+≥0是fafb()+≥()0的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.数码aaa,,,,?a中

3、有奇数个9的2007位十进制数2aaa?a的个数为（）123200612320061200620061200620062006200620062006A．(10+8)B．(10−8)C．10+8D．10−822二、填空题（本题满分54分，每小题9分）447.设f(x)=sinx−sinxcosx+cosx，则f(x)的值域是.8.若对一切θ∈R，复数za=+(cos)(θ+−2sain)θi的模不超过2，则实数a的取值范围为.-1-22xy9.已知椭圆+=1的左右焦点分别为F与F，点P在直线l：xy−+38230+=1216

4、4PF1上.当∠FPF取最大值时，比的值为.12PF2110.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相2切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需3要注水cm.2006242004200511.方程(x+++++=1)(1xx?x)2006x实数解的个数为.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为.三.解答题（本题满分36分，每小题6分）213.给定整数n≥2，设)M(x,y是抛物线y=nx−1

5、与直线y=x的一个交点.试证000mm2明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x,y)为抛物线y=kx−1与直线y=x00的一个交点.14.将2006表示成5个正整数x12345,,,,xxxx之和.记Sx=∑ijx.问：15≤<≤ij（1）当x,,,,xxxx取何值时，S取到最大值；12345（2）进一步，设对任意1,5≤≤ij有xx−≤2，问当x,,,,xxxx取何值时，S取到ij12345最小值.说明理由.21nn−115.设f()xxa=+.记f()xfx=()，f()xffx=(())，n=2,3,?，nMa=

6、∈{R对所有正整数，nf(0)≤2}.⎡1⎤证明：M=−2,.⎢⎥⎣4⎦-2-