2007年全国高中数学联合竞赛一试试题

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1、2007年全国高中数学联合竞赛一试试题说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只发6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中问档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分。解答题中5分为一个档次，不要再增加其他中问档次．一、选择题(本题满分36分．每小题6分)1．如图，在正叫棱锥中，则二面角的平面角的余弦值为()2．设实数a使得不等式对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是()3．将号码分别为l，2，…，9的九

2、个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋噜，再摸出一个球，其号码为b．则使不等式成立的事件发生的概率等于()4．设函数若实数a,b，c使得对任意实数x恒成立．则的值等于()5．设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是()6．已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集．若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为()A．62B．66C．68D．74二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7

3、．在平面直角坐标系内，有四个定点A(－3，O)，B(1，－l)，C(0，3)，D(－1，3)及一个动点P，则

4、PA

5、+

6、PB

7、+

8、PC

9、+

10、PD

11、的最小值为_________。8．在△ABC和△AEF中，8是EF的中点，=2的夹角的余弦值等于__________。9．已知正方体ABCD—A1B1C1Dl的棱长为l．以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于________。10．已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数．若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于_______。

12、11．已知函数，则f(x)的最小值为_______。12．将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的l6个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有_______种(用数字作答)．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设，求证：当正整数n≥2时，。14．已知过点(0，1)的直线l与曲线交于两个不同点M和N．求曲线C在点M、N处的切线的交点轨迹．15．设函数f(x)对所有的实数x都满足，求证：存在4个函数满足：(1)对是偶函数一且对任意的实数x，有；(2)对任意的实数x，有。2007年全国高中数学联合竞

13、赛加试试题一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB

14、、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。