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时间：2020-01-13
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1、第十四章幂级数§14.1幂级数§14.2函数的幂级数展开§14.1幂级数定义:幂级数至少有一个收敛点0.的级数称为幂级数.一、幂级数的收敛域:定理的(2),系第一部分的逆否命题.证明收敛区域发散区域发散区域收敛区域发散区域发散区域定义:正数R称为幂级数的收敛半径.问题如何求幂级数的收敛半径?规定证明开方次数 与x的次数 是一致的!证毕.例1求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛域为(0,1].解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为解级数发散,级数发
2、散,原级数的收敛区间为解:是缺项幂级数.因此,该幂级数的收敛域为所论级数成为幂级数由几何级数的敛散性结果,所以所论级数的收敛域为解:二．幂级数的一致收敛性证:由优级数判别法,证:且一致有界,由Abel判别法,三.幂级数的性质1.逐项求导和积分后的级数同法可证，但未必有相同的收敛域。2.和函数的性质收敛区间内,可逐项求导收敛区间内,可逐项积分次可导，且有推论1中，取x=0,得３.幂级数的运算性质由定理7推论2，即得。由绝对收敛的常数项级数的运算性质，我们有：柯西乘积利用幂级数的运算性质,可以计算某些幂级数
3、 的和函数,例如.解两边积分得解收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是
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