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1、第22卷第3期临沂师范学院学报2000年6月Vol.22No.3JournalofLinyiTeachers’CollegeJun.2000 文章编号:1007-0737(2000)03-0020-03谐振子含时薛定谔方程的辛算法研究牟其善 于元勋(山东教育学院数理系,山东济南250013)摘 要:辛算法是最近出现的一种哈密顿力学计算方法,我们将它应用于求解量子力学中线性谐振子的含时薛定谔方程,自编程序进行了计算,并与通常算法作了比较.计算结果表明,辛算法是用于求解含时薛定谔方程等一类偏微分方程的一种优秀的数值计算方法.关键词:谐振子;含时薛定谔方程;差分
2、格式;辛算法中图分类号:O41311文献标识码:A0 引言在计算机迅速普及的今天,数值算法日益显示出其重要性.量子力学中的含时薛定谔方程因为是偏微分方程,所以[1][2]很难精确求解.最近出现的辛算法在哈密顿力学领域获得了巨大的成功,已开始有人将辛算法引入量子力学领域.我们将这一算法应用于求解线性谐振子的含时薛定谔方程,构制了与哈密顿算符相应的无穷小辛阵,用FORTRAN语言和TrueBASIC语言编制程序进行了计算,并与通常算法作了比较.计算结果清楚地显示了辛算法的优越性.1 用辛算法求解谐振子的含时薛定谔方程在量子物理学中,谐振子是微观粒子运动方式和场的
3、量子化理论的一个非常重要的物理模型.我们可将线性谐振子的含时薛定谔方程及初始条件写为:229¶9122i¶Ψ(x,t)=-2Ψ(x,t)+mωxΨ(x,t)(1)9t2m9x21P42Ψ(x,0)=(mωPπ¶)(-mωxP2¶)(2)若取¶=m=ω=1,问题可简化为291912iΨ(x,t)=-2Ψ(x,t)+xΨ(x,t)(3)9t29x2-1P42Ψ(x,0)=π(-xP2)(4)下面用数值方法求解这一方程,计算范围取为x=-210～210之间.我们曾用辛普森法计算过,基态谐振子处于这区间的几率为019953229.将这区间分为21个格点,相邻格点的间
4、距为012.引入Harmiton算符21912H(t,x)=-2+x(5)29x2可将含时薛定谔方程写成如下形式9iΨ=HΨ9t我们将波函数分为实部和虚部Ψ(x,t)=R(x,t)+iI(x,t)(6)在谐振子情况下,Harmitom算符H是实的,含时薛定谔方程可变形为dR0HR=(7)dtI-H0I将波函数按本征函数系Ψn(x)展开Ψ(t,x)=∑(an(t)+ibn(t))Ψn(x)(8)收稿日期:2000205206基金项目:山东教育学院科研基金资助项目作者简介:牟其善(1948—),男,山东济南人,山东教育学院副教授.第3期牟其善等:谐振子含时薛定谔
5、方程的辛算法研究21则含时薛定谔方程的矩阵形式可写为dΨ=KΨ(9)dtT其中Ψ=(a1(t)a2(t),⋯b1(t)b2(t)⋯)T上标T表示矩阵的转置,初始条件取为Ψ0=(100000⋯).在能量表象中,K矩阵可如下构成:000⋯λ100⋯000⋯0λ20⋯000⋯00λ3⋯K=-λ100⋯000⋯0-λ20⋯000⋯00-λ3⋯000⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯λn=n+1P2很容易证明,矩阵K满足TK·J+J·K=0(10)式中0EJ=-E0[3]E为单位矩阵.所以K为无穷小辛阵.由此可知,变换后的含时薛定谔方程具有辛结构.引入二阶辛差分格式-1Ψn+1=(1
6、+hkP2)(1-hkP2)Ψn(11)求解薛定谔方程.因为用到矩阵的求逆运算,我们用TrueBASIC语言编程序,取K矩阵为6阶方阵,步长为h=0105,并与精确解-1P42Ψ(x,t)=πexp(-xP2)exp(-itP2)-1P42[R=πexp(-xP2)cos(tP2),-1P42I=πexp(-xP2)sin(tP2)]比较,得计算结果见表1.表1 计算结果XRIΔRΔI-2.0.10152675e+00-.50805692e-02-.13230654e-09-.26439232e-08-1.8.14846100e+00-.74292381e-
7、02-.19346980e-09-.38661682e-08-1.6.20857992e+00-.10437690e-01-.27181493e-09-.54317637e-08-1.4.28155345e+00-.14089408e-01-.36691183e-09-.73321141e-08-1.2.36515513e+00-.18272977e-01-.47585896e-09-.95092393e-08-1.0.45501132e+00-.22769532e-01-.59295679e-09-.11849242e-07-0.8.54474745e+0
8、0-.27260079e-01-.70989814e
