经典谐振子与量子谐振子的比较研究

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1、经典谐振子与量子谐振子的比较研究潘保平（天水师范学院物理与信息科学学院甘肃天水741000）摘要：线性谐振子问题在经典力学和量子力学中都是一个倍受关注的问题，他的重要性在于自然界中广泛存在着简谐振动，许多体系都可以近似地看作线性谐振子。本文从经典和量子两个角度对谐振子问题进行研究和比较，并用不确定度关系探讨了零点能问题。关键字：谐振子；零点能；不确定度关系；波粒二象性ClassicsHarmonicOsicillatorandQuantumHarmonicOsicillatorPanBaoping(Departmentofphy

2、sicsTianshuiNormalUniversityGansuTianshu)Abstract:ThisessaydiscussestheLinearHarmonicscillatorfromtwodifferentaspectsClassicsandQuantum.ItalsodiscussesZero-pointenergybyusingtheuncertaintyrelation.Keywords:harmonicoscillator,zero-pointenergy,uncertaintyrelation,wave-

3、particledualism1、经典力学中的谐振子在经典力学中，谐振子问题可用下面的方式来表述。一质量为M的质点沿ox轴运动，他所受到的回复力可从势函数的微商得到。势函数（1）力的表达式为：（kook定律）（2）i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成：（3）令（4）（3）式变为：（5）方程（5）的解具有下列形式：（6）它表示一个正弦运动，其振幅为，相位为，角频率为，相应的频率是：（7）只与质点的质量和恢复力常数有关，而振幅和相位都与运动初始条件有关。振子的总能量E是：（8）动能和势能的表达式为：（9）（10）显然总能量在运动

4、中式不变的且由（9）（10）式知：当时，势能有最小值0，而此时动能有最大值。而当时，势能有最大值，而此时动能值最小为0。进一步，对于经典振子：经典振子的速度V为;利用，注意：（11）其中为振幅，平衡点为原点。当时，由（11）式知此时经典振子的速度V有最大值，即经典振子在处逗留时间最短，出现的几率最小。2、量子力学中的谐振子在量子力学中，取谐振子的平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子的势能可表示为：K为反映谐振子作用强度的参数，谐振子受力，设振子质量为，令：则一维谐振子的能量本征方程为：（12）为方便起见引入没有纲

5、量的变量代替，它们的关系式：；并令：（13）则（12）式化简为;(14)这是一个变系数的常微分方程。（或）有限点式微分方程的常点，而为方程的正则奇点。考虑方程的解在处的渐进行为。当很大时，与相比可以略去，所以方程（14）可写为：不难证明它的解围：。因为波函数的标准条件要求时应有限，所以我们对波函数只取指数上的负号。不妨令方程（14）的解为：(15)（14）代入（15）式课的满足方程:用级数解法，把展成的幂级数来求解方程的解。这个级数必须只含有限项，才能在时，使有限;而级数只含有限项的条件是为奇数：……(16)代入（13）式可得谐

6、振子的能级为：，……（17）可见现行谐振子的能量只能取分立值，两相邻的能级间隔为，即。而谐振子的能量本征函数为：（18）其中是归一化常数（19）最低的四个能级及相应的波函数如下：（20）（21）（22）（23）3、讨论经典谐振子与量子谐振子有着本质的区别，下面将逐一讨论与比较：3.1、能级3.1.1、能量取值点由（9）（10）式可知经典谐振子的能量取值是连续的，而由（17）式可知量子谐振子的取值是分立的，即是量子化的，其中n为量子数。且能级是等间距的，间距是。能量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要体现。3.1.2

7、、零点能由（9）式可知当时经典谐振子的最低动能为零，而由（17）式可知，量子谐振子在基态的能量不为零。即当n=0时，,称为零点能，这与经典谐振子完全不同。它与无限势阱总粒子的基态能量（n=1,2,3…….）不为零是很相似的，这是一种量子效应,是微观粒子波粒二象性的表现。同样，也可用不确定度关系定性说明。利用坐标和动量的不确定关系：谐振子的能量不确定度关系：使极小的的值可由极值条件：可求得，，因此谐振子的零点能：可见谐振子的基态是谐振子问题的最小不确定态，这是由其量子本性所决定的。3.2、波函数在量子力学中波函数本身无意义，但波函

8、数的绝对值平方：与粒子在空间某点出现的几率成正比。首先我们以基态讨论。对于量子谐振子的基态：，相应的几率密度为：易知在x=0处有最大值：，即在原点找到粒子的概率最大，由于能量，可知此时的经典回转点为。按经典力学，能量为E的谐振子所能大到离平衡位置最远的距离是称为