哈工大研究生2012数值分析.pdf

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1、哈工大2012年硕士研究生《数值分析》1.(10分)构造出方程fx=x3-2x2+x=0所有根的迭代法，使迭代格式至少2阶收敛，并说明2阶收敛理由。取初值为2，计算接近2的根（要求迭代两次，结果保留4位小数）。第1页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》12.(10分)试确定求积公式−1?(?)??≈?−1?−1+?0?0+?1?(1)，r=3中的待定参数?−1、?0、?1，使公式的代数精度尽可能高，并导出该公式的余项（设?(?)∈?4[−1,1]）。第2页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》320?133.(10分)方程组−13−1?2=6−57−

2、1?3101)用Crout三角分解法解方程组；2).计算其系数矩阵A的按模最大的特征值及对应的特征向量。选取初始向量?=(0,1,1)?（要求迭代二次，结果保留4位小数）0第3页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》2−11?1−14.(10分)已知线性方程组222?2=4−1−12?3−51)分别写出Jacobi迭代矩阵和Gauss-Seidel迭代矩阵；2)分别讨论Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性。第4页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》5.(10分)试用共轭梯度法(cg法)求解线性方程组。（初始值取?(0)=(0,0,0

3、)?）430?12034−1?2=300−14?3−24已知计算过程为：给定x(0)，计算?(0)=?−??(0),?=?(0)0对k=0，1，···计算(??,??)?=;?(?+1)=?(?)+??;?(?+1)=?(?)−????????(??,???)(??+1,??+1)?=;?=?(?+1)+???(??,??)?+1??第5页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》6.(10分)已知函数f(x)满足数表x014f(xi)0121)试求f(x)在[0，4]上的Hermite插值多项式H(x)使之满足下列条件H(x)=f(x)，i=0,1,2H’(x)

4、=1/2。2)写出余项R(x)=f(x)-H(x)的表达式。第6页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》7.(10分)已知数据点(0,7),(1,4),(2,3),(3,3)试利用反差商构造有理插值函数R(x)通过已知数据点。第7页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》18.(10分)选择形如y=，(a0、a1为常数)的经验公式拟合给定的数据表：a0+a1xi01234xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46第8页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》9.(10分)已知求解常微分方程初值问题的差分

5、方法：ℎ??+1=??+[???,??+2???+1,??+1]31)求出局部截断误差主项，指出方法的阶数；2)讨论其绝对稳定性。第9页共10页哈工大2012年硕士研究生《数值分析》10.(10分)给定线性多部法11ℎ?=?+?+[7?′−?′]?+1??−1??−1224初始值及?0、?1，h为步长。1)讨论该方法的收敛性和绝对稳定性；?′+10?=02)对初值问题取步长h=0.04，初值?1=0.6703，求x=0.08，0.12时?0=1.0的数值解（计算中保留小数点后4位）。（参考定理：设x1和x2是实系数二次方程x2+bx+c=0的根，则?1<1,?2<1的

6、充要条件是?<1+?,?<1）第10页共10页