哈工大研究生数值分析试题及答案.doc

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1、321.x3,2分别是方程xx8x120的根；讨论用Newton迭代法求它们近似值的收敛阶。取初值x2计算根x3的近似值，要求迭代3次。（结果保留4位小数）032解：设f(x)xx8x122f(x)3x2x8f(x)6x2f(3)0,f(3)0，f(2)0,f(2)0,f(2)100则：3是f(x)0的单根，故Newton迭代在3附近是平方收敛；2是f(x)0的二重根，故Newton迭代在2附近是线性收敛；取x2，Newton迭代：032f(x)xx8

2、x12nnnnxxxn1nn2f(x)3x2x8n22x3x6nn3x4n22x3x600x13x4022x3x611x23x4122x3x622x33x422.设常数a0，求出a的取值范围使得解方程组a21xb112a3xb2213axb33的Jacobi迭代法收敛。解：Jacobi迭代：(k1)(k)xBxgJ1a0210211Ba203203Ja

3、a1301301ab1gab2ab3迭代矩阵B的特征方程：J021a2111EB2032a30Jaa13013a3即：(a)14(a)014特征根：0,ia14谱半径：(B)1时Jacobi迭代收敛Ja故：a14232x153.设（1）用Crout三角分解法求解方程组1034x13；2361x93（2）

4、用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。T（取v(0,0,1)，计算迭代三次的值）0解：（1）Crout三角分解：311232221A103410121LU23613113124311221L1012，U123113124LybAxbUxyT5求解Lyb得y,1,02T求解Uxy得x1,1,0v(0,0,1)T，

5、v0T（2）0u00,0,11max(v)0Tv1Tv1Au02,4,1，u10.5,1,0.254max(v)1Tv2Tv2Au1,,，u20.5,1,0.86119max(v)2Tv3Tv3Au2,,，u30.5,1,0.7306，11.44max(v)34.试利用插值多项式证明：对k0,1,,n2恒有等式nki0i1(i1)(ii1)(ii1)(in)证明：设xi,i1,2,,nikf(x)x,k0,1,n2由插值多

6、项式的唯一性，比较Lagrange与Newton插值最高项系数得：nf(x)if[x1,,xn]i1(xix1)(xixi1)(xixi1)(xixn)由差商与导数关系，有(n1)f()f[x,,x],[1,n]1n(n1)!k将xi,(i1,2,,n),f(x)x,(k0,1,n2)代入上面两等式，有inki0i1(i1)(ii1)(ii1)(in)nk(n1)if()f[x1,,xn]0i1(i1)(ii1)(ii1)(in)

7、(n1)!5.求4次Hermit插值多项式H(x)，满足：H(0)H(0)0,H(1)H(1)1,H(2)1并写出误差表达式。22解：方法一：因H(0)H(0)0，故设：H(x)x(abxcx)由H(1)H(1)1,H(2)1，得abc12a3b4c1a2b4c1931得a,b,c424122H(x)x(x3)4(5)f()22误差：E(x)f(x)H(x)x(x1)(x2),(0,2)5!方法一：满足H(0)0,H(1)H(2)1的插值

8、多项式为：312p(x)xx222设：H(x)p(x)(ABx)(x0)(x1)(x2)23H(0)2B0,2由1H(1)(AB)1213得：由A,B44311H(x)xx(