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1、哈工大数值分析上机报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。■、八—.刖a:掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在［a,b］上连续，f(a)f(b)Newton法通常预先要给出一个猜测初值xO,然后根据其迭代公式xk?l?xk?f(xk
2、)，f(xk)产生逼近解X*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当xO接近x*时收敛很快，但是当xO选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为xk?l?xk?rf(xk)f'(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下functiony=f(x):y二-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主
3、程序。二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=;a二0;%%%误差R=l;20;%迭代次数初值while(R>5e-6);c=(a+b)/2;iff12(a)*fl2(c)>0;a=c;eIseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+l;endx二c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%%输入函数f=input('请输入需要求解函数>>'，‘s')%%%求解f(x)的导数df二diff(f);%%%改进常数或重根数miu二2;%%%初始值xOxO=input('inputinitialvalu
4、ex0>>');k=0;%迭代次数max=l00;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0‘，’x'));%求解f(xO),以确定初值xO时否就是解while(abs(R)>le~8)xl=x0-miu*eval(subs(f,'xO'x'))/eval(subs(df,'xO','x'));R=xl-xO;xO=xl;k=k+l;if(eval(subs(f,'xO','x'))breakendifk>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛,重新输入初值ss二input('mayberesultiserror,c
5、hooseanewxO,y/n?>>'，‘s');ifstrcmp(ss,'y‘)xO二inputCinputinitialvaluex0>>‘);k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=xO；%给出解结果分析和讨论：x2?0在［1,2］内的根。(??5*10?6,下同)1.用二分法计算方程sinx?2计算结果为X二；f(X)=-；k二18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2.用二分法计算方程x3?x?l?0在［1,］内的根。计算结果为X=；f(X)二；k=17；由f(x)知
6、结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3.用Newton法求解下列方程a)xex?l?0x0二；计算结果为f(x)二；k二4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。a)x3?x?l?0x0=1；b)(x?l)2(2x?l)?0x0=,x0二;当xO二时，计算结果为X=；f(x)=-；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解沪。当xO二时，计算结果为x二；f(x)=O；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=,但迭代次数增多，实际上当
7、取xO)时，x~l,就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。2.用改进的Newton法求解，有2重根，取??2(x?l)2(2x?l)?0x0=；并与3.中的c)比较结果。当xO二时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改??时，结果收敛为x二；f(X)二；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。当xO二时，结果收敛为X二；f(x)=；k=4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精
8、度要求下，可得其迭代次数k=15,这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论：对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分
