“指向核心素养的初中数学原创试题设计”

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1、“指向核心素养的初中数学原创试题设计”----解答题【试题来源】题１：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么.题２：如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2=2AC2【试题内容】如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形OEFG的顶点，OE交AB于M，OG交BC于

2、N.（1）如图（1），正方形OEFG在绕点O旋转的过程中，AM与BN之间有什么数量关系，请证明你的结论；（2）如图（2），正方形OEFG在旋转过程中，若对角线EG恰好经过点B，①试判断线段BE、BG、BO之间的数量关系，并说明理由；②当EB﹤BG时，若BO＝5，EF＝，求AM的长.（1）（2）【赋分说明】本题满分10分，第（1）问3分，第（2）问①3分，②4分.【考查目标】本题主要考查等腰直角三角形的有关性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质.突出考查化归与转化，由一般到特

3、殊的思想，重点考查直观想象素养、逻辑推理素养（见下表）核心知识知识要求考试要求核心思想核心素养等腰直角三角形的有关性质，全等三角形的判定与性质，勾股运用综合性化归与转化的思想一般到特殊的思想直观想象素养逻辑推理素养定理，相似三角形的判定与性质.【设计思路】本题根据人教版教材8年级下册第十七章习题17.1第14题和第十八章实验与探究改编而成，以正方形为载体，通过从一般情况到特殊情况的问题探究，揭示规律，并进行推理论证.主要鼓励学生通过几何直观，借用画图等手段，探索结论，进行逻辑推理.【解答方法】（1）主要是借助等

4、腰直角三角形和正方形的性质，证明△AOM≌△BON，从而得出线段AM，BN之间的数量关系为：AM=BN；（2）①连接CG，易证△BOE≌△COG，可得BE=CG，∠OGC=∠OEB=45°，则∠BGC=45°+45°=90°，所以CG2+BG2=BC2,即BE2+BG2=BC2，又因为BC=OB，所以BE2+BG2=2OB2②方法一：由题意：BG=EF=14，设BE=x,则BG=14-x，由①得x2+（14-x）2=2×（5）2因为EB﹤BG，解得x=6，所以BG=14-6=8.易证△OBN∽△OGB，得NMG

5、FOEDCBA即，解得BN=，所以AM=BN=方法二：易证△OBN∽△OGB，得OB2=OGON即（5）2=7ON，解得ON=过点O作ＯＨ⊥ＢＮ于点Ｈ在等腰直角△ＯＢＨ中　解得ＢＨ＝ＯＨ＝５在Ｒｔ△ＯＨＮ中，由勾股定理得，ＨＮ＝所以ＢＮ＝ＢＨ＋ＨＮ＝５＋＝【评分细则】本题采用分段累加的方式给出评分细则如下：（1）AM=BN1分理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAM=∠OBN=45°∴∠AOM+∠BOM=90°又∵四边形OEFG为正方形∴∠EOG=90°∴∠BON+∠BOM=9

6、0°∴∠AOM=∠BON在△AOM和△BON中∴△AOM≌△BON（ASA）2分∴AM=BN3分（2）①BE2+BG2=2OB24分理由如下：连接CG∵∠EOB+∠BOG=90°∠COG+∠BOG=90°∴∠EOB=∠COG又∵OB=OC，OE=OG在△BOE和△COG中∴△BOE≌△COG（SAS）5分∴BE=CG，∠OGC=∠OEB=45°∴∠BGC=∠BGN+∠OGC=45°+45°=90°∴CG2+BG2=BC2又∵BE=CG∴BE2+BG2=BC2在等腰直角三角形OBC中BC=OB∴BE2+BG2=（

7、OB）2=2OB26分②在等腰直角三角形EFG中EG=EF=×7=147分设BE=x,则BG=14-x由①得BE2+BG2=2OB2∴x2+（14-x）2=2×（5）2解得x1=6,x2=8∵EB﹤BG∴BE=6,BG=14-6=88分在正方形ABCD和正方形OEFG中，∠OBN=∠OGB=45°又∠BON=BOG∴△OBN∽△OGB∴即9分解得BN=∴AM=BN=10分命题教师：田海俊　　吴伟学校：枣阳市吴店一中联系方式：１３８８６２３４２０１　　　　　　　　　　　１３７９７６５１９５３