高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数课堂导学案

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1、3.3幂函数课堂导学三点剖析一、幂函数定义、图象和性质【例1】比较下列各组数的大小：(1)和;(2)和;(3)和;(4),和.解析：(1)函数y=在(0,+∞)上为减函数，又3<3.1,所以>.(2)=-,函数y=在(0,+∞)上为增函数，又>,则>,从而<-.(3)=,=,函数y=在(0,+∞)上为减函数.又>,所以=<=.(4)>=1,0<<=1,<0，所以<<.温馨提示比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，要善于运用“中间变量”法进行分组，常数0和1是常用的介数.二、幂函数图象的位置和

2、形状变化【例2】已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上，点（-2，）在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有（1）f(x)>g(x);（2）f(x)=g(x);（3）f(x)1或x<-1时，f(x)>g(x);(2)当x=±1时，f(x)=g(x);(3)当-1

3、时，f(x)

4、x≠0}，所以③中不包含x=0这一元素.三、幂函数在实际中的应用【例3】某农药厂今年生产农药8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨，问平均每年需增长百分之几？解析：设平均增长率的百分率为x,则由题意8000(1+x)5=14000,即(1+x)5==1.75.两边取对数，5lg(1+x)=lg1.75,lg(1+x)=lg1.75=×0.243=0.0486.∴

5、1+x=1.118,即x=0.118=11.8%.答：平均每年需增长11.8%.温馨提示幂函数、指数函数、对数函数经常联合考查，要注意综合能力的培养.本列中若用a表示原有数量，x表示增(降)率，n表示年数，A表示n年后的总数，则有公式A=a(1+x)n.各个击破类题演练1比较下列各题中的两个值的大小：（1）与;5(2)与.解析：(1)∵=,=,又∵幂函数y=在（0,+∞）上是增函数，而>,∴>.因此,>.(2)∵函数y=的图象在第一象限内是一条下降曲线，∴>1-43=1.同样，y=在第一象限内对应一条上升曲线

6、.∴<=1.因此,>.变式提升1证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.证明：任取x1、x2∈［0,+∞］且x10.因为f(x1)-f(x2)=-==<0，所以f(x1)

7、又图象关于y轴对称，则n2-2n-3为偶数.由n2-2n-3≤0得-1≤n≤3,又n∈Z,∴n=0,±1,2,3.当n=0时，n2-2n-3=-3不是偶数；当n=1时，n2-2n-3=-4为偶数；当n=-1时，n2-2n-3=0为偶数；当n=2时，n2-2n-3=-3不是偶数；当n=3时，n2-2n-3=0为偶数；所以n={-1,1,3}.此时，幂函数解析式为y=x0(x≠0)或y=x-4.图象如下图.类题演练3下列函数中，其中幂函数的个数为（）①张亮在时间t秒内骑车行走了1km，那么他骑车的平均速度v==t

8、-1km/s②李红在做物理实验时，得到关系式h=gt2=4.9t2③一个细胞分裂按以下方式进行，其个数y与时间t的关系为y=2t④马明在做匀速跑的过程中，其距离s与时间t的关系为s=tA.0个B.1个C.2个D.3个解析：①④为幂函数，②为二次函数；③为指数函数.故选C.答案：C变式提升3已知函数f(x)=（m2+2m）·,m为何值时，f(x)是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数.解析：（1）若f(x)为正比例函数，则m=1.(2)若f(x)为反比例函数，则m=-1.(3)若f(

9、x)为二次函数，则m=.(4)若f(x)为幂函数，则m2+2m=1,∴m=-1±.55