浙江高考数学总复习第九章专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型学案

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1、专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型高考导航　圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现.热点一　圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.【例1】(1)(2015·天津卷)已知双曲线－＝1(

2、a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D.x2－＝1(2)若点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则

3、AM

4、＋

5、AC

6、的最小值为________.(3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与抛物线y2＝2px(p＞0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为________.解析　(1)双曲线－＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐

7、近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.(2)设点B为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，那么

8、BM

9、＋

10、AM

11、＋

12、AC

13、≥

14、AB

15、＋

16、AC

17、＝2a，所以

18、AM

19、＋

20、AC

21、≥2a－

22、BM

23、，而a＝4，

24、BM

25、＝＝，所以(

26、AM

27、＋

28、AC

29、)最小＝8－.-9-(3)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将x＝代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.所以

30、PE

31、＝＝p，

32、PF

33、＝p，

34、EF

35、＝p.故2a＝p＋p，2c＝p

36、，e＝＝－1.答案　(1)D　(2)8－　(3)－1探究提高　(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.

37、【训练1】(2017·衡水金卷)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，以下结论：①△ABF2的周长为8；②原点到l的距离为1；③

38、AB

39、＝.其中正确结论的个数为(　　)A.3B.2C.1D.0解析　①由椭圆的定义，得

40、AF1

41、＋

42、AF2

43、＝4，

44、BF1

45、＋

46、BF2

47、＝4，又

48、AF1

49、＋

50、BF1

51、＝

52、AB

53、，所以△ABF2的周长为

54、AB

55、＋

56、AF2

57、＋

58、BF2

59、＝8，故①正确；②由条件，得F1(－，0)，因为过F1且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋，则原点

60、到l的距离d＝＝1，故②正确；③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以

61、AB

62、＝·

63、x1－x2

64、＝，故③正确.故选A.答案　A热点二　圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上-9-的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.【例2】(满分12分)(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段A

65、B的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.满分解答　(1)解　由题意有＝，＋＝1，2分解得a2＝8，b2＝4.4分所以C的方程为＋＝1.5分(2)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.7分故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.10分于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分　❶列出方程组，解出a2，b2得4分.❷设出直线l的方程

66、后与椭圆方程联立消去y得到关于x的方程准确者得4分.❸求出点M的坐标得1分，再得到直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值得2分.❹结论得1分.解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，