2、=1,前n项和为Sn,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由已知得=1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=2n2-n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.a1=S1=2×12-1=1=4×1-3,∴an=4n-3.(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,Tn=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4
3、×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,Tn=3.(2017山东烟台一模,理17)在如图所示的三棱柱中,侧面ABB1A1为边长等于2的菱形,且∠AA1B1=60°,△ABC为等边三角形,平面ABC⊥平面ABB1A1.6(1)求证:A1B1⊥AC1;(2)求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值.(1)证明取A1B1的中点O,连接OA,OC1,∵△ABC为等边三角形,∴C1O⊥A1B1.∵侧面ABB1A1为边长等于2的菱形,∴
4、△AA1B1是等边三角形,可得OA⊥OA1,∴A1B1⊥C1O,A1B1⊥OA,OA∩OC1=O,∴A1B1⊥平面AOC1.而AC1⊂平面AOC1,∴A1B1⊥AC1.(2)解∵平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,且C1O⊥A1B1,∴C1O⊥平面ABB1A1,OA⊂平面ABB1A1,∴AO⊥OC1.由(1)知OA⊥OA1,OA1⊥OC1,故建立坐标系O-xyz如下图.则A1(1,0,0),A(0,,0),C1(0,0,),B1(-1,0,0),C(-1,),=(-1,0,),=(0,-).设m=(x,y,z
5、)为平面A1ACC1的法向量,则令y=1可得m=(,1,1).=(1,0,),=(-1,,0).设n=(a,b,c)为平面BCC1B1的法向量,则令b=1,可得n=(,1,-1).∴cos=,故侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值为.4.(2017黑龙江大庆三模,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.6(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求
6、直线PA与平面EAC所成角的正弦值.(1)证明∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC,∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解如图,以C为原点,分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a>0),则E,=(1,1,0),=(0,0,a),,取m=(1,-1,0),则m·=m·=
7、0,m为面PAC的法向量.设n=(x,y,z)为面EAC的法向量,则n·=n·=0,即取x=a,y=-a,z=-2,则n=(a,-a,-2),依题意,
8、cos
9、=,则a=1.于是n=(1,-1,-2),=(1,1,-1).6设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=
10、cos<,n>
11、=,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.〚导学号16804250〛5.(2017山西晋中二模,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D在椭圆C上,直线l:y=
12、kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且
13、PM
14、=
15、MN
16、,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解(1)由题意得解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为=1.(2)假设存在这样的直线l:y
