2019_2020学年高中数学第1章三角函数77.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学案北师大版必修4

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1、7．1　正切函数的定义7．2　正切函数的图像与性质学习目标核心素养1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像．2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点).1.通过借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像体会数学直观素养．2．通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题提升数学运算素养.1．正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α

2、的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)．(2)正切线如图所示，线段AT为角α的正切线．思考1：设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？[提示]　当a≠0时，有意义．tanα＝.2．正切函数的图像与性质图像性质定义域值域R奇偶性奇函数周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π单调性在，k∈Z上是增加的对称性该图像的对称中心为，k∈Z思考2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？[提示]　不能．正切函数y＝tanx在每段区间(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．

3、1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tanα＝，则x的值为(　　)A．7　　　　B．8　　　　C．15　　　　D.B　[由正切函数的定义知tanα＝＝，解得x＝8.]2．函数y＝tanx的对称中心坐标为(　　)A．(kπ，0)(k∈Z)　　　　　B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(2kπ，0)(k∈Z)C　[y＝tanx的图像与x轴的交点以及x轴上使y＝tanx无意义的点都是对称中心．]3．函数y＝tan2x的定义域为________．　[由正切函数的定义知，若使y＝tan2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．解得x≠＋(k∈Z)．]4．函数y＝tanx，x∈

4、的值域是________．[0,1]　[函数y＝tanx在上是增加的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan0＝0.]正切函数的概念【例1】　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．[解]　r＝＝5

5、a

6、，若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－.tanα＝＝＝－；若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝.2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α

7、终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．1．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，求tanα的值．[解]　由题意知cosα＝＝－，∴b＝±3.又cosα＝－<0，∴P在第二象限，∴b＝3.∴tanα＝－.正切函数的图像【例2】　作出函数y＝tan

8、x

9、的图像，判断函数的奇偶性及周期性．[思路探究]　去掉绝对值号，先作出x≥0时的图像，再利用图像变换作出x<0时的图像．[解]　∵y＝tan

10、x

11、＝∴当x≥0时，函数y＝tan

12、x

13、在y轴右侧的图像即为y＝tanx在y轴右侧的图像．当x<0时，y＝tan

14、x

15、在y轴左侧的

16、图像为y＝tanx在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y＝tan

17、x

18、是偶函数，但不是周期函数．1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(

19、x

20、)及y＝

21、f(x)

22、的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(

23、x

24、)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝

25、

26、f(x)

27、的图像．2．(1)函数y＝sinx与y＝tanx在区间上的交点个数是(　　)A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6(2)函数y＝tanx＋sinx－

28、tanx－sinx

29、在区间内的图像是图中的________．(填序号)　　　　①　　　　②　　　　③　　　　④(1)A　(2)④　[(1)如图，函数y＝sinx与y＝tanx在区间上的交点个数是3.(2)函数y＝tanx＋sinx－

30、tanx－sinx

31、＝]正切函数的性质[探究问题]1．如何判断函数的奇偶性．[提示]　判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对