结式理论及其应用开题报告

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1、开题报告结式理论及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　一、选题的背景、意义1．选题的背景高等代数是大学数学最主要的基础课程之一。高等代数课程的教学内容包含三个方面：线性代数，多项式理论，群，环，域的基本概念。线性代数占的比重最大，它研究线性空间及其线性映射（包括具有度量的线性空间及与度量有关的线性变换）。多项式理论是研究一元和多元多项式环。，群，环，域的基本概念是紧密结合多项式理论和线性变换（包括与度量有关的线性变换）理论，水到渠成地介绍一元（多元）多项式环、矩阵环、线性变换环、模p剩余类域、正交群、酉群和辛群。2．选题的意义随着现代工程技术的

2、发展，多项式理论的用途越来越广泛。特别是在现代控制理论中，频域法就是以多项式理论为数学工具的一种系统设计方法。而结式(resultant)是多项式理论中一个比较重要的概念，它主要用于多项式之间互质性的判定。本文从多项式的结式概念人手，提出应用结式理论来确定多元非线性多项式所有零点的系统方法，并借助计算机强大的计算能力验证该方法在解非线性方程组的计算中是行之有效的。凡是可化为多项式方程组求解的问题，均可采用本文的方法进行研究，特别是在电力电子领域中的谐波抑制方面有广泛的应用。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1一元多项式定义1.1设是一个非负

3、整数，形式表达式称为系数在数域中的一元多项式，或称数域上的一元多项式。在多项式中，称为次项，称为第次项的系数。我们把数域上所有一元多项式的集合记为。用或等符号表示多项式。我们还规定：两个多项式与的同次项的系数全相等，并记为。又把所有系数都等于0的多项式称为零多项式，记为0。多项式中系数不等于0的最高次数的项称为多项式的首项，其系数称为首相系数，首相系数等于1的多项式称为首一多项式。首项的次数称为多项式的次数。多项式的次数记为。例如式的多项式中如果，其首项就是，首项系数就是，次数等于。规定零多项式的次数等于的运算规则如下：+任何整数=，，零次多项式

4、就是一个非零常数。多项式在需多方面的性质非常类似于整数。首先定义多项式的加法运算。设不妨设定。为方便起见令。那么和的和为：显然数域上的多项式之和仍是一个上的多项式。很容易验证多项式的加法具有类似于整数加法（以及向量加法）的性质：加法结合律：加法交换律：零多项式的特性：对于任意的多项式存在被称为负多项式的多项式，使得有了负多项式的概念就可以定义多项式的减法。把两个多项式与的差定义为：再定义多项式的乘法：设多项式与如，式所示则定义它们的积为：其中次项的系数为：所以可以表示成多项式的乘法也均有类似于整数乘法的性质：乘法结合律：乘法交换律：多项式1的特征

5、：此外乘法与加法之间还满足分配律：以及以后我们把数域上一元多项式的全体称为一元多项式环，简称多项式环。在观察多项式的和与积的次数。命题1.1对于多项式的乘法，有特别当时有。推论1.2多项式的乘法满足消去律：如果，且，那么。命题1.2设，则2.2结式的定义我们知道，结式在代数中有着许多重要应用。利用结式能有效地解决两个一元多项式以及两个二元多项式的公共零点问题。我们还知道，判别式在多项式理论中占有重要的地位。根据判别式不但可以判定一个多项式是否有重根，而且还可以根据判别式的符号判定实系数多项式的根的情况。而判别式恰与结式有密切联系，前者往往通过后者

6、进行计算。结式能够起到在两个联立的多项式方程中消去一个变量的作用。先考虑两个一元多项式其中,并且允许首项系数等于0。用分别乘，用分别乘，可以得到以下等式组：…………………………………………………………………………………………………………我们把等式组右边的系数矩阵记为则。现在用矩阵A的最后一列元素的代数余子式分别去乘的各个等式并把乘积相加。根据行列式的代数余子式的性质，等式右边的的系数都等于0，只有常数项系数等于行列式。也就是说得到下述结果：我们引进以下定义：定义1设是的两个多项式，并且。则称行列式为与的结式，记为。根据结式的定义，我们可以把式改写

7、成以下形式：。其中显然有这样就证明了以下命题命题1设是的两个多项式，并且。则存在多项式，，使得利用这个命题可以证明下面的定理。定理2设是的两个多项式，其中。则结式的充分必要条件是：或者，或者与有次数大于0的公因式（或等价地，和有公共的复数根）。证明：设则式矩阵的行向量线性相关，存在不全为零的数使得。用分别乘等式组的各式并相加，就可得到令则不全为零，且若不全为零，不妨设则，因而。如果，，有。若会得到，与不全为零矛盾。但又导出矛盾。所以。令。由于次数大于0，它一定有一个复数根。根据多项式的根与一次因式的关系，有。由于是与的最大公因式，因此又有再次利用

8、根与一次因式的关系，就可得到这说明与有公共的复数根。如果，则由结式的定义，设。如果次数大于0，则由上证，与有公共的复数根。把代入，即有2