江苏专用2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质学案苏教版选修

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1、2.5　圆锥曲线的共同性质学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法．(重点)　2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题．(难点)[自主预习·探新知]1．圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e.这个常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线．2．圆锥曲线离心率的范围：(1)椭圆的离心率满足0＜e＜1，(2)双曲线的离心率满足e＞1，(3)抛物线的离心率满足e＝1.3．椭圆和双曲线的准线方

2、程：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是x＝±.[基础自测]1．判断正误：(1)到定点F与定直线l的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线．(　　)(2)离心率e＝1时不表示圆锥曲线．(　　)(3)椭圆的准线为x＝±(焦点在x轴上)，双曲线的准线为x＝±(焦点在x轴上)．【解析】　(1)×.定点F不在定直线l上时才是圆锥曲线．(2)×.当e＝1时表示抛物线是圆锥曲线．(3)×.双曲线的准线也是x＝±.【答案】　(1)×　(2)×　(3)×2．离心率为，准线为x＝±4的椭圆方程

3、为________.【导学号：95902149】【解析】　由题意知a＝2，c＝1，b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.【答案】　＋＝1[合作探究·攻重难]求焦点坐标及准线方程　求下列曲线的焦点坐标和准线方程：(1)x2－y2＝2；(2)4y2＋9x2＝36；(3)x2＋4y＝0；(4)3x2－3y2＝－2.[思路探究]　把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解．【自主解答】　(1)化方程为标准形式：－＝1.焦点在x轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.∴焦点为(±2,0)，准线方程为x＝±＝±1.(2)化方程为标准形式：＋＝1.

4、焦点在y轴上，a2＝9，b2＝4，c＝.∴焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝±＝±.(3)由方程x2＝－4y知，曲线为抛物线，p＝2，开口向下，焦点为(0，－1)，准线为y＝1.(4)化方程为标准形式－＝1，a2＝，b2＝，c＝＝，故焦点为.准线方程为y＝±＝±＝±.[规律方法]　1．已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值a，b，c或p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程．2．注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待．[跟

5、踪训练]1．求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程：(1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4.【导学号：95902150】【解】　(1)化方程为标准形式：＋＝1.焦点在x轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1.∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为x＝±＝±4.(2)化方程为标准形式：－＝1.焦点在x轴上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝.∴焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝±＝±＝±.利用圆锥曲线的定义求距离　双曲线－＝1上有一点P，它到右准线的距离为，求它到左焦点的距离．[思路探究]　首先判定点P在双曲线的左支还是右支上，

6、然后利用性质把到准线的距离转化为到焦点的距离求解．【自主解答】　双曲线－＝1的左准线和右准线分别为x＝－和x＝，若点P在双曲线的左支上，则点P到右准线的最小距离为－(－3)＝＞，故点P不可能在左支上，而在右支上，所以点P到右焦点的距离为e＝，再根据双曲线的定义知PF1－PF2＝6，即PF1＝6＋PF2＝6＋＝.即点P到左焦点的距离为.[规律方法]　解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解

7、决；(2)把思路(1)的两步过程交换先后顺序来解决.[跟踪训练]2．椭圆＋＝1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为，求点P到椭圆的右焦点的距离．【解】　椭圆＋＝1中，a2＝25，b2＝16，则a＝5，c＝3，故离心率为e＝.由圆锥曲线的性质得点P到椭圆的左焦点的距离为e＝，再根据椭圆的定义得，P到右焦点的距离为2a－＝10－＝.利用圆锥曲线的定义求最值[探究问题]1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？【提示】　＝e，即PF＝de(e为椭圆或双曲线的离心率)．2．设

8、椭圆＋＝1内一点A(1,1)，P为椭圆上一点，过P作椭圆的准线x＝4的垂线，垂足为D，则PA＋PD的最小值是什么？【提示】　过A作直线x＝4的垂线交椭圆于P，垂足为D，则PA＋PD最小，最小值