2018-2019年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法高效演练 新人教A版选修4-5

《2018-2019年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法高效演练 新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.3反证法与放缩法A级　基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)A.＝　　　　　　　B.＜C.＝，且＜D.＝或＜解析：应假设≤，即＝或＜.答案：D2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为(　　)A．a，b，c，全不为0B．a，b，c至少有一个为0C．a，b，c至少有一个不为0D．a，b，c至多有一个不为0解析：“a，b，c全为0”的否定是“a，b，c至少有一个不为0”．答案：C3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(

2、c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的命题个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．答案：C4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：因为a＋b

3、＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)A．M≥NB．M≤NC．M＞ND．M＜N解析：依题设，1－a，1－b，1－c均大于0，又a＋b＋c＝1，所以≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，从而≥(1－b)(1－c)＝(a＋c)(a＋b)，所以M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．答案：A二、填空题6．用反

4、证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推出矛盾即①，最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②7．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：因为＜＝＜＝1，所以lg9

5、·lg11＜1.答案：lg9·lg11＜18．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．解析：因为210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，所以M＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋,210个＝1.答案：M＜1三、解答题9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.证明：(反证法)设≥2，≥2，则由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．所以，中至少有一个小于2.10．已知n∈N*，求证：＋＋…＋＜.证明：由基本不等式，得＜＝，所以＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝＝＜

6、，故原不等式成立．B级　能力提升1．若a＞0，b＞0，满足ab≥1＋a＋b，那么(　　)A．a＋b有最小值2＋2B．a＋b有最大值(＋1)2C．ab有最大值＋1D．ab有最小值2＋2解析：1＋a＋b≤ab≤，所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋2.答案：A2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则＋的最小值为________．解析：因为≥≥，且≥，所以＋≥＋≥2＝，当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．答案：3．已

7、知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解：当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2.两式相减得an＋1＝an.所以an是首项为1，公比为的等比数列．所以an＝.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈

8、N*，所以①式等号左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．