2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程作业 苏教版选修2-1

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1、2.6.2求曲线的方程[基础达标]已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,则动点M的轨迹是________.解析:由图知PF1+PF2=2a.连结MO,则F1M+MO=a(a>F1O).故M的轨迹是以F1、O为焦点的椭圆.答案:椭圆已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,则点M的轨迹方程为________.解析:设M(x,y),由题意,得=2

2、x+1

3、.化简,得-3x2-12x+y2=0.答案:y2=3x2+12x已知动抛物线以y轴为准线,且过点(1,0),则抛物线焦点的轨迹方程为__

4、______.解析:设焦点坐标为(x,y),因动抛物线以y轴为准线,且过点(1,0),根据抛物线的定义得:=1(x>0),即(x-1)2+y2=1(x>0).答案:(x-1)2+y2=1(x>0)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为________.解析:设圆C的半径为r,则圆心C到直线y=0的距离为r.由两圆外切可得,圆心C到点(0,3)的距离为r+1,也就是说,圆心C到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,故点C到点(0,3)的距离和它到直线y=-1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹为抛物

5、线.答案:抛物线设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边,点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是________.解析:设Q(x,y),P(1,y0),由·=0知y0y=-x.① 又由OQ=OP,得=,即x2+y2=1+y.② 由①②消去y0,得点Q的轨迹方程为y=1或y=-1.故动点Q的轨迹是两条平行线.答案:两条平行线在平面直角坐标系中,A为平面内一个动点,B(2,0),若·=

6、

7、(O为坐标原点),则动点A的轨迹是________.解析:设A(x,y),则=(x,y),=(x-2,y),因为·=

8、

9、,所以x(x-2

10、)+y2=2,即(x-1)2+y2=3,所以动点A的轨迹是圆.答案:圆长度为1的线段AB在x轴上运动,点P(0,1)与点A连结成直线PA,点Q(1,2)与点B连结成直线QB,则直线PA与QB交点的轨迹方程为____________.解析:如图所示,设直线PA与QB的交点为M(x,y).再设A(a,0)(a≠0),则B(a+1,0).由截距式得直线PA的方程为+=1,即x+ay=a.由两点式得直线QB的方程为=,即2x+ay-2a-2=0.故点M的坐标是方程组的解,消去参数a得(2-x)y=2,故点M的轨迹方程为(2-x)y=2.答案:(2-x

11、)y=2曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是________.解析:设曲线C上任一点P(x,y),由PF1·PF2=a2,可得·=a2(a>1),将原点(0,0)代入等式不成立,故①不正确.∵点P(x,y)在曲线C上,点P关于原点的对称点P′(-x,-y),将P′代入曲线C的方程等式成立,故②正确.设∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=PF

12、1·PF2·sinθ=a2sinθ≤a2,故③正确.答案:②③△ABC的顶点A固定,点A的对边BC的长是2a,边BC上的高的长是b,边BC沿一条定直线移动,求△ABC外心的轨迹方程.解:如图所示,以BC所在的定直线为x轴,以过A点与x轴垂直的直线为y轴,建立直角坐标系,则A点的坐标为(0,b).设△ABC的外心为M(x,y),作MN⊥BC于N,则MN是BC的垂直平分线.∵BC=2a,∴BN=a,MN=

13、y

14、.又M是△ABC的外心,∴MA=MB.而MA=,MB==,∴=.化简,得所求轨迹方程为x2-2by+b2-a2=0.如图,从双曲线x2-y

15、2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.解:设P点坐标为(x,y),双曲线上点Q的坐标为(x0,y0),因为点P是线段QN的中点,所以N点的坐标为(2x-x0,2y-y0).又点N在直线x+y=2上,所以2x-x0+2y-y0=2,即x0+y0=2x+2y-2.①又QN⊥l,kQN==1,即x0-y0=x-y.②由①②,得x0=(3x+y-2),y0=(x+3y-2).又因为点Q在双曲线上,所以(3x+y-2)2-(x+3y-2)2=1.化简,得(x-)2-(y-)2=.所以线段QN的中点P的轨迹方程为(

16、x-)2-(y-)2=.[能力提升]设向量i,j为平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+3)i+yj,b=(x-3)i+yj,且

17、a

18、-

19、b

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