2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测(八)反证法与放缩法(含解析)新人教A版选修4-5

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1、课时跟踪检测(八)反证法与放缩法1.如果两个正整数之积为偶数,则这两个数(  )A.两个都是偶数B.一个是奇数,一个是偶数C.至少一个是偶数D.恰有一个是偶数解析:选C 假设这两个数都是奇数,则这两个数的积也是奇数,这与已知矛盾,所以这两个数至少一个为偶数.2.设x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系为(  )A.M>N       B.M<NC.M=ND.不确定解析:选B N=+>+==M.3.否定“自然数a,b,c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(  )A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中至少有两

2、个偶数或都是奇数解析:选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种,而自然数a,b,c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况,故反面的情况有3种,只有D项符合.4.设a,b,c∈(-∞,0),则三数a+,b+,c+的值(  )A.都不大于-2     B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2解析:选C 假设都大于-2,则a++b++c+>-6,∵a,b,c均小于0,∴a+≤-2,b+≤-2,c+≤-2,∴a++b++c+≤-6,这与假设矛盾,则选C.5.M=+++…+与1的大小关系为________.解析:M=+++…

3、+=+++…+<+++…+=1,即M<1.共210项答案:M<16.用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点,其中任意两点的距离最大为d,距离为d的两点间的线段称为这组点的直径,求证直径的数目最多为n条”时,假设的内容为____________.解析:对“至多”的否定应当是“至少”,二者之间应该是完全对应的,所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n+1条”.答案:直径的数目至少为n+1条7.A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________.解析:A=+++…+≥==.答案:A≥8.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,且ac+bd>1,求证:a,b

4、,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数.由a+b=c+d=1,知a,b,c,d∈[0,1].从而ac≤≤,bd≤≤.∴ac+bd≤=1.即ac+bd≤1.与已知ac+bd>1矛盾,∴a,b,c,d中至少有一个是负数.9.求证:+++…+<2.证明:因为<=-,所以+++…+<1+++…+=1+++…+=2-<2.10.已知α,β∈,且sin(α+β)=2sinα.求证α<β.证明:假设α≥β.①若α=β,由sin(α+β)=2sinα,得sin2α=2sinα,从而cosα=1,这与α∈矛盾,故α=β不成立.②若α>β,则sinαcosβ+

5、cosαsinβ=2sinα,所以cosαsinβ=(2-cosβ)sinα,即=.因为α>β,且α,β∈,所以sinα>sinβ.从而>1,即cosα>2-cosβ,即cosα+cosβ>2,这是不可能的,所以α>β不成立.由①②可知假设不成立,故原结论成立.

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