浙江2019高考数学二轮复习专题四解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系学案

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1、第2讲　直线与圆锥曲线的位置关系高考定位　直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练.真题感悟(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.故x1＝0，x2＝－，因此

2、AP

3、＝

4、x1－x2

5、＝·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称

6、性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足

7、AP

8、＝

9、AQ

10、.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知

11、AP

12、＝，

13、AQ

14、＝，故＝，所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.由于k1≠k2，k1，k2＞0，得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，因此＝1＋a2(a2－2).①因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.由e＝＝得，所求离心率的取值范围是.考点整合141.直线与圆锥曲线

15、的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ＜0，则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①若a≠0，则当Δ＞0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ＜0时，直线与双曲线相离.②若a＝0，则直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线的方

16、程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，用Δ判定，方法同上.②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

17、P1P2

18、＝

19、x2－x1

20、或

21、P1P2

22、＝

23、y2－y1

24、，其中求

25、x2－x1

26、与

27、y2－y1

28、时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

29、x2－x1

30、＝，

31、y2－

32、y1

33、＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).3.弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.热点一　直线与圆锥曲线(以椭圆、抛物线为主)的相交弦问题[考法1]　有关圆锥曲线的弦长问题【例1－1】(2018·镇海中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b≥1)过点P(2，1)，且离心率e＝.14(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.解　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.又＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求

34、椭圆C的方程为＋＝1.(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，判别式Δ＝16－4m2＞0，即m2＜4.又x1＋x2＝－2m，x1·x2＝2m2－4，则

35、AB

36、＝×＝，点P到直线l的距离d＝＝.因此S△PAB＝d

37、AB

38、＝××＝≤＝2，当且仅当m2＝2时取等号.故△PAB面积的最大值为2.探究提高　解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系、设而不求思想、弦长公式等简化计算；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义

39、求解.[考法2]　有关圆锥曲线的中点弦问题【例1－2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；14②求p的取值范围.(1)解　∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则∴kPQ＝＝，又∵P，Q关于l对称，∴kP

40、Q＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上