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1、商空间及其应用刘用麟（武夷学院数学系，福建武夷山354300）摘要：研究了商空间的性质，给出了有关商空间第一、第二同构定理和同态基本定理，作为应用，证明了线性代数中的两个著名维数公式是它们的直接推论.关键词：线性代数，商空间，同构定理，维数公式中图分类号：0151.2MR(2000):15A03QuotientSpacesandApplicationsLIUYonglin(MathematicsDepartmentofWuyiUniversity,Wuyishan,Fujian354300)Abstract:Thispaperinvestigatesthepropertie
2、sofquotientspacesandobtainsthefirst,secondisomorphismtheoremsandhomomorphismfundamentaltheorem・Astheapplications,weprovethattwofamousdimensionalformulasinlinearalgebrasaretheircorollaries.Keywords：Linearalgebra,quotientspace,isomorphismtheorem,dimensionalformula1.商空间的概念在近世代数，群理论中有商群的概念，环理论
3、中有商环的概念.类似地，在线性空间理论中我们可以有商空间的概念.设W是数域P上线性空间V的子空间，利用W,可在V的向量向定义一个二元关系:a〜p当且仅当a—0WW命题1・1〜是V的一个同余关系.证明：VaWV,有a—a=0^W,所以a〜a；Va,0WV,若a〜/3,则a—p=0WW,于是一（a—0）WW,即0—aWW,因此0~a;Pa、卩、YWN,若a〜0且卩〜Y,则a—0,p~rFW,于是a~Y=5—卩）+（0—$）WW,这样a〜r,因此〜是一个等价关系.Va,0,〃，§WW,若a~0,则a_卩，“一gWW,于是（a+巾）（0+§）=（a—0）+（77-0WW,于是a+〃
4、〜0+因此〜是一个同余关系.令a={xWVIx~a}表示向量a所在的等价类，容易证明a=a+W={a+010WW}.这些筹价类我们可称为子空向W的陪售，由于线性空间中的向量关于加法满足交换律，故不必区分左、右陪集.下而考虑商集V/W={aIaeV},在V/W中定义两个运算，Va,~peV/W,kFp：a+0=a+0,ka=ka.由命题1.1,容易证明这两个运算均是良好定义的.根据线性空间的定义，容易验证V/W关于这两个运算构成数域P上的一个线性空间.定义1・2如上定义的线性空间称为V关于W的商线性空间，简称商空间.命题1・3设V是n维线性空间，W是它的r维子空间，则商空I'
5、可V/W的维为n~r.基金项目：福建省自然科学基金资助项目（2006J0394）作者简介：刘用麟，男，教授，博士，研究方向：逻辑代数、计算智能的数学基础电话：13850909615»E-mail:ylliun@tom.com证明：设a】，…，勺是W的基，将它扩充成V的一个基：m，…，ar,色+1,…，an,下证ar+,…，是V/W的一个基.设kr+lar+4卜knan=6,则kr+iar+i+•••+/“”=0,于是kr+[ar+[+•••+/“WW,这样可设&+]%+]+…+knan=kial+…+knar,即+…+knar一/cr+lar+lknar)=0.由于⑷，
6、…，勺线性无关，可得忍+i=•••=£”=0，即Qr+i，…，线性无关.V/；wv/w,设"=仙+•••+/「％+—+S+1+•••+—為,贝U〃_©+]%+]+•••+/“&“)=l{a{+•••+/「£WW.于是帀詁+S+•••+/“/=-+0+1+…+3・因此我们证明了dim(V/W)=n~r.1.同构定理定义2・1设V与V'是数域P上两个线性空间，/：V-V'是一个映射，若满足:(1)V6Z,PFV,有/(tz+0)=/(6Z)+/(0)，(2)X/kFP,aWV,有/(也)=kfJa).则称/是线性空间V到V'的一个同态映射.命题2.2设/是线性空I、可V到V'的
7、同态映射，贝IJ(1)/(0)=0,(2)/(—a)=—f(a),⑶f(乞如)=£k$a).j=1/=!证明：易证.命题2・3设/是线性空I、可V到V'的同态映射，W是V的子空间，则f(W)={/(a)aeW)是V'的子空I、可.特别地，Imf=/(V)是V'的子空间，称为/的像.证明：根据子空间判定方法易证.命题2.4设/是线性空间V到V'的同态映射，W，是V'的子空I、可，则厂(W，)={aeVI/(a)ewy}是V的子空间.特别地，ker/={aeVI/(6z)=0}是V的子空间，称为/的核.证明：根据子空
