§8.4　空间向量及其应用、空间角.pptx

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1、§8.4空间向量及其应用、空间角高考理数(北京市专用)1A组  自主命题·北京卷题组1.(2017北京,16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.五年高考2解析本题考查面面垂直的性质定理,线面平行的性质定理,二面角,直线与平面所成的角等知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力.(1)设AC,BD的交点为E,连接ME.因为PD∥平

2、面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.(2)取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.3又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),4则即令x=1,则y=1,z=.于是n=(1,1,).平面PAD的

3、一个法向量为p=(0,1,0).所以cos==.由题意知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.(3)由题意知M,C(2,4,0),=.设直线MC与平面BDP所成角为α,则sinα=

4、cos

5、==.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.方法总结在求二面角时,通常用空间向量法,即建立空间直角坐标系,求出两个面的法向量n1,n2,设二面角的大小为θ,则有

6、cosθ

7、=

8、cos

9、=,再通过原图判断二面角是钝角还是锐角,进而求出二面角.52.(2015北京,17,14分,0.73)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥

10、平面E-FCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(1)求证:AO⊥BE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.6解析(1)证明:因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,所以AO⊥平面EFCB.所以AO⊥BE.(2)取BC的中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OG⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB,又OG⊂平面EFCB,所以OA⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz,7则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2

11、,(2-a),0),=(-a,0,a),=(a-2,(a-2),0).设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=,y=-1.于是n=(,-1,1).8平面AEF的法向量为p=(0,1,0),所以cos==-.由题设知二面角F-AE-B为钝角,所以它的余弦值为-.(3)因为BE⊥平面AOC,所以BE⊥OC,即·=0.因为=(a-2,(a-2),0),=(-2,(2-a),0),所以·=-2(a-2)-3(a-2)2.由·=0及0

12、个半平面的法向量n,p,利用cos=求值;(3)用坐标表示,,利用·=0求a的值.评析本题主要考查面面垂直的性质定理、二面角的求解以及线面垂直的性质定理,考查学生的空间想象能力和运算求解能力,正确建立空间直角坐标系以及表示点的坐标是解决本题的关键.93.(2011北京,16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.10证明(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因

13、为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=.如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0).所以=(1,,-2),=(0,2,0).11设PB与AC所成角为θ,则cosθ===.(3)由(2)知=(-1,,0).设P(0,-,t)(t>0),则=(-1,-,t).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则·m=0,·m=0.12所以令