85空间向量及其应用、空间角带详细答案

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1、8.5空间向量及其应用、空间角五年高考A组统一命题•课标卷题组1.直三棱柱加。-內中，ZBC4=90°,A/,N分别是小砂,小。的中点,心cm,则m与少所成角的余弦值为（）。12阿4A:wB:5C:lo-D:T答案详解C正确率：73%,易错项：B解析:木题主要考查空间向量的应用。建立如图所示的空间直角坐标系，设^C=C.4=CC1=1,则有“（14.0）,出0丄0）,儿（0丄1）,耳（丄0・1）,Ci（OJll）,所以刈6£1）,N（0冷,1）,贝053?=（—如）,叽（0冷1）,所以。故本题正确答案为c

2、。易错项分析：空间中异面直线夹角的解法，用空间向量法解题相对简单，本题易错点是正确建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。2.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD^9AB//CD9且ZB.4P=ZCDP=90°o（1）证明：平面几丄平面（2）若PA=PD=A13=DCfZ-4PD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值。答案详解（1）因为=ZCDP=90°,所以"丄CZ>,A13丄宀，又因M//CD,所以加丄”，又因PDHPA=P9所以加丄平面R3,

3、又因加C平面几1B,所以平面PAB丄平面只3。（2）因为ABHCD,且A13=CD9所以四边形加CD为平行四边形。取O,E分别为眈中点,连接",PO,则AB//OE//CDq由（1）知加丄平面PAD,所以ABA.PO,AB丄AD9所以OE丄PO9OE丄又因"PD=90°,PA=PD,所以△P.4D为等腰直角三角形，所以PO±ADq如图，以O为原点建立空间直角坐标系,不妨令PA=PD=AB=DC=29则PO=OA=OD=y/2fP（o,0,d）,-4（^,0,0）,B（v/2,2,0）,C（-vz2.2.0

4、）,则丙=（血2-②，扁=（020）,詡=（2辺,0,0）,设平面PAB的一个法向量为示=（5如刁），则（y/2^i+2“i-v丢1=0.有严（）•示=（141）,设平血PBC的一个法向量为Jx/2j*2+21/2—x/5^2=0.怎=（吃皿22）,则有t2vz2.r2=0.菽=（0丄丹），所以，显然二面角V?A-PB-C为钝二面角，所以其余弦值为一丁。p解析:本题主要考查点、平面、直线的位置关系。(1)根据WCD,ZBAP=ZCDP=90°,先证恥丄平面PAD,再证平面PAB丄平面PAD即可。(2)

5、根据己知可证0E丄PO,OE±ADfP0丄」3,然后建立空间直角坐标系，再设各点坐标，代入公式计算即可。注意所求二面角A-PB-C为钝二面角，所以其余弦值为一丁。1.(12分)如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面/BCD,W?=/?C=?W；,ZB.W=ZA^C=90°,E是皿的屮点。(1)证明：直线3〃平面MB；(2)点M在棱胆上且直线与底面朋CD所成角为站°,求二面角^-AU-D的余弦值。答案(1)证明：作点尸为PA的中点,连接砂,EF。如图所示，因为E是卩。的中点，所以EF是的中位线，

6、即盯〃加，且RF=2W9因为ZBAD=ZABC=90°,所以BCHAD,且心討),所以BCHEF,且心EF,所以四边形时必为平行四边形，所以C£〃〃F,又因为"FU平面几1",CEt平面PAB,所以直线"//平面PAB。(2)如图所示，取3中点。，连接％,7由于△只3为正三角形，所以P°丄A0因为侧面P3为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面宀M平面加3-3,所以"丄平面ABCDy所以可以作以O为原点，以饭为「轴,以皿为"轴，以"为:轴的空间直角坐标系o-g不妨设AB=BC=^AD/5=],则a—co=

7、i。又因为zoc为直角三角形，计W,所以"CO=60。。作MNWOf垂足为N,所以MV丄平面ABCDq设CN=t,则MV=v印，".V=G+1。易知厶l/“*即为直线与底面AECD所成角为45°,所以=解得/=TO因此有OjV=1_T,a/jV=To所以-4(0.-1,0),"(1.—1.0),—亍・0,乎)，£>(0,1.0),贝y扁=(100),万=(0・2,0),而=(1-孚」乎)。设平面MA13的法向量为〒=仏几叫所以，即可取"=(0,vE-2),同样可取平曲小3的法向量^=(0.0.1),TT

8、所以i^ii^rvio-i=一-o因为二面角m-ab-»是锐角，所以二面角A/-AB-°的余眩值为〒。解析本题主要考查空间几何体，直线、平面的位置关系和空间向量的应用。（1）作点尸为砂的中点，连接EF9利用题目条件证四边形酊眈为平行四边形即可得；（2）取ad中点。，连接po,CO,作"V丄2,垂足为N,先以0为原点，以°C为运轴，以0D为9轴，以0P为£轴建立空间直角坐标系，设加"，根据题目所给直线与底^ABCD所成角为45