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1、8.5空间向量及其应用、空间角五年高考A组统一命题•课标卷题组1.直三棱柱加。-內中,ZBC4=90°,A/,N分别是小砂,小。的中点,心cm,则m与少所成角的余弦值为()。12阿4A:wB:5C:lo-D:T答案详解C正确率:73%,易错项:B解析:木题主要考查空间向量的应用。建立如图所示的空间直角坐标系,设^C=C.4=CC1=1,则有“(14.0),出0丄0),儿(0丄1),耳(丄0・1),Ci(OJll),所以刈6£1),N(0冷,1),贝053?=(—如),叽(0冷1),所以。故本题正确答案为c
2、。易错项分析:空间中异面直线夹角的解法,用空间向量法解题相对简单,本题易错点是正确建立空间直角坐标系,求出两条直线的方向向量,最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。2.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD^9AB//CD9且ZB.4P=ZCDP=90°o(1)证明:平面几丄平面(2)若PA=PD=A13=DCfZ-4PD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值。答案详解(1)因为=ZCDP=90°,所以"丄CZ>,A13丄宀,又因M//CD,所以加丄”,又因PDHPA=P9所以加丄平面R3,
3、又因加C平面几1B,所以平面PAB丄平面只3。(2)因为ABHCD,且A13=CD9所以四边形加CD为平行四边形。取O,E分别为眈中点,连接",PO,则AB//OE//CDq由(1)知加丄平面PAD,所以ABA.PO,AB丄AD9所以OE丄PO9OE丄又因"PD=90°,PA=PD,所以△P.4D为等腰直角三角形,所以PO±ADq如图,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨令PA=PD=AB=DC=29则PO=OA=OD=y/2fP(o,0,d),-4(^,0,0),B(v/2,2,0),C(-vz2.2.0
4、),则丙=(血2-②,扁=(020),詡=(2辺,0,0),设平面PAB的一个法向量为示=(5如刁),则(y/2^i+2“i-v丢1=0.有严()•示=(141),设平血PBC的一个法向量为Jx/2j*2+21/2—x/5^2=0.怎=(吃皿22),则有t2vz2.r2=0.菽=(0丄丹),所以,显然二面角V?A-PB-C为钝二面角,所以其余弦值为一丁。p解析:本题主要考查点、平面、直线的位置关系。(1)根据WCD,ZBAP=ZCDP=90°,先证恥丄平面PAD,再证平面PAB丄平面PAD即可。(2)
5、根据己知可证0E丄PO,OE±ADfP0丄」3,然后建立空间直角坐标系,再设各点坐标,代入公式计算即可。注意所求二面角A-PB-C为钝二面角,所以其余弦值为一丁。1.(12分)如图,四棱锥中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面/BCD,W?=/?C=?W;,ZB.W=ZA^C=90°,E是皿的屮点。(1)证明:直线3〃平面MB;(2)点M在棱胆上且直线与底面朋CD所成角为站°,求二面角^-AU-D的余弦值。答案(1)证明:作点尸为PA的中点,连接砂,EF。如图所示,因为E是卩。的中点,所以EF是的中位线,
6、即盯〃加,且RF=2W9因为ZBAD=ZABC=90°,所以BCHAD,且心討),所以BCHEF,且心EF,所以四边形时必为平行四边形,所以C£〃〃F,又因为"FU平面几1",CEt平面PAB,所以直线"//平面PAB。(2)如图所示,取3中点。,连接%,7由于△只3为正三角形,所以P°丄A0因为侧面P3为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面宀M平面加3-3,所以"丄平面ABCDy所以可以作以O为原点,以饭为「轴,以皿为"轴,以"为:轴的空间直角坐标系o-g不妨设AB=BC=^AD/5=],则a—co=
7、i。又因为zoc为直角三角形,计W,所以"CO=60。。作MNWOf垂足为N,所以MV丄平面ABCDq设CN=t,则MV=v印,".V=G+1。易知厶l/“*即为直线与底面AECD所成角为45°,所以=解得/=TO因此有OjV=1_T,a/jV=To所以-4(0.-1,0),"(1.—1.0),—亍・0,乎),£>(0,1.0),贝y扁=(100),万=(0・2,0),而=(1-孚」乎)。设平面MA13的法向量为〒=仏几叫所以,即可取"=(0,vE-2),同样可取平曲小3的法向量^=(0.0.1),TT
8、所以i^ii^rvio-i=一-o因为二面角m-ab-»是锐角,所以二面角A/-AB-°的余眩值为〒。解析本题主要考查空间几何体,直线、平面的位置关系和空间向量的应用。(1)作点尸为砂的中点,连接EF9利用题目条件证四边形酊眈为平行四边形即可得;(2)取ad中点。,连接po,CO,作"V丄2,垂足为N,先以0为原点,以°C为运轴,以0D为9轴,以0P为£轴建立空间直角坐标系,设加",根据题目所给直线与底^ABCD所成角为45