8.5空间向量与应用、空间角带详细答案解析

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1、word资料下载可编辑8.5空间向量及其应用、空间角五年高考A组统一命题.课标卷题组1.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）。A: B: C: D: 答案详解C正确率:73%,易错项:B解析:本题主要考查空间向量的应用。建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，，，，，所以，，则，，所以。故本题正确答案为C。易错项分析：空间中异面直线夹角的解法，用空间向量法解题相对简单，本题易错点是正确建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。2.（12分）如图，在四棱锥中，，且。（1）证明：平面平

2、面；（2）若，，求二面角的余弦值。专业技术资料word资料下载可编辑答案详解（1）因为，所以，，又因，所以，又因，所以平面，又因平面，所以平面平面。（2）因为，且，所以四边形为平行四边形。取，分别为，中点，连接，，则。由（1）知平面，所以，，所以，，又因，，所以为等腰直角三角形，所以。如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则有，设平面的一个法向量为，则有，所以，显然二面角为钝二面角，所以其余弦值为。专业技术资料word资料下载可编辑解析:本题主要考查点、平面、直线的位置关系。（1）根据，，先证平面，再证平面平面即可

3、。（2）根据已知可证，，，然后建立空间直角坐标系，再设各点坐标，代入公式计算即可。注意所求二面角为钝二面角，所以其余弦值为。3.（12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点。（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。答案（1）证明：作点为的中点，连接，。如图所示，因为是的中点，专业技术资料word资料下载可编辑所以是的中位线，即，且，因为，，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以直线平面。（2）如图所示，取中点，连接，，由于为正三角形 ，所以，因为侧面为等边三角形且垂

4、直于底面，平面平面，所以平面，所以可以作以为原点，以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系。不妨设，则。又因为为直角三角形，，所以。作，垂足为，所以平面。设，则，。易知即为直线与底面所成角为，所以，解得。因此有，。所以，，，，则，，。设平面的法向量为，所以，即，可取专业技术资料word资料下载可编辑，同样可取平面的法向量，所以。因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为。解析本题主要考查空间几何体，直线、平面的位置关系和空间向量的应用。（1）作点为的中点，连接，，利用题目条件证四边形为平行四边形即可得；（2）取中点，连接，，作，垂足为，先以为原点，以为轴，以为轴，以

5、为轴建立空间直角坐标系，设，根据题目所给直线与底面所成角为先算出，的长度，再分别写出各点的空间坐标，算出平面一个法向量即可求解二面角的余弦值。题目来源：2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数4.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点。专业技术资料word资料下载可编辑（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。答案详解（1）连接，作，连接并延长交于点，因为底面，所以，所以，所以平面，因为为的中点，，所以为中点，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，，

6、，所以平面平面，所以平面；专业技术资料word资料下载可编辑（2）取中点，连接。因为，，所以，可得。以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立直角坐标系，如图所示。则，，，，因为为的中点，则。，，。设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，则，即，，则直线与平面所成角的正弦值为。      ......12分解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系，空间直角坐标系。（1）过点作底面垂线，再由已知条件中四棱锥的高与底面垂直，从而得到一组平行线，再利用过点所作垂线垂足作侧边平行线来构造另外一组平行线，使得存在两组相交直线相互平行，即可证得相交直线构成的平面平行，进而得出

7、其中一面上的任一直线与另一平面平行，证毕。专业技术资料word资料下载可编辑（2）以体高在底面的垂足为原点建立空间直角坐标系，利用已知中已经给出的各边数量关系，表示出面的法向量和的坐标，从而求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值，再通过法向量方向的判断得出直线与平面的夹角正弦值。5.本小题满分分）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，。过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。答案详解（1）如图，交线围成的正方形如图所示。（2）如图，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直

8、角坐标系。作，垂足为，所以，，因为四边