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1、浅谈相空间及其应用2013.1.12摘要相空间是一个六维假想空间，其中动量和空间各占三维。在经典力学中，相空间坐标由广义坐标qi以及其共辘的广义动量pi所组成。系统的相空间通常具有极大的维数，其中每一点代表了包括系统所有细节的整个物理态（系统每个粒子的位置和动量坐标）。作为一个巨大维数的空间，它上面的每个点代表我们考虑的系统全部可能的态。哈密顿方程的形式允许我们以一种非常强而有力的一般方式去“摹想”经典系统的演化，我们也可以按照相空间摹想哈密顿方程。同时，相空间正被人类越来越频繁地应用到各个领域，这里主要选取混沌时间序列的相空间重构理论，人
2、工神经网络以及相空间重构在股票短期预测中的应用进行介绍。关键词：相空间，哈密顿方程，空间可计算性3什么是相空间在数学与物理学中，相空间，phasespace,是动力系统中坐标是状态变量或状态向量的分量组成的空间。是一个用以表示出一系统所有可能状态的空间;系统每个可能的状态都有一相对应的相空间的点。这个方法在1901年由约四亚.威拉德•吉布斯提出。相空间是一个六维假想空间，其中动量和空间各占三维。在经典力学中，相空间坐标由广义坐标qi以及其共辘的广义动量pi所组成。每个相格投影到px-x平面上后面积总是ho系统的相空间通常具有极大的维数，其中
3、每一点代表了包括系统所有细节的整个物理态（系统每个粒子的位置和动量坐标）。作为一个巨大维数的空间，它上面的每个点代表我们考虑的系统全部可能的态。哈密顿方程的形式允许我们以一种非常强而有力的一般方式去“幕想”经典系统的演化。想象一个多维“空间”，每一维对应于一个坐标xl,x2,,,pl,p2,,,（数学空间的维数，通常比3大得多。）此空间称Z为相空间。对于n个无约束的粒子，相空间就有6n维（每个粒子有三个位置坐标和三个动量坐标）。我们也可以按照相空间摹想哈密顿方程。首先，相空间的单独的点Q它代表所有位置坐标xl,x2,,,和所有动量坐标pl,
4、p2,„的一种特别的值。也就是说，Q表示我们整个物理系统，指明组成它的所有单独粒子的特定的运动状态。当我们知道它们现在的值时，哈密顿方程告诉我们所有这些坐标的变化率是多少；亦即它控制所有单独的粒子如何移动。翻译成相空间语言，该方程告诉我们，如果给定单独的点Q在相空间的现在位置的话，它将会如何移动。为了描述我们整个系统随时间的变化，我们在相空间的每一点都有一个小箭头，更准确地讲,一个矢量，它告诉我们Q移动的方式。这整体箭头的排列构成了所谓的矢量场。哈密顿方程就这样地在相空间中定义了一个矢量场。按照相空间我们可以解释物理的决定论。对于时间t=0
5、的初始数据，我们有了一族指明所有位置和动量坐标的特定值；也就是说，我们在相空间特别选定了一点Q。为了找出此系统随时间的变化，我们就跟着箭头走，这样，不管一个系统如何复杂，该系统随时间的整个演化在相空间中仅仅被描述成一点沿着它所遭遇到的特定的箭头移动。“长”的箭头表明Q移动得快，而“短”的箭头表明Q4的运动停滞。只要看看Q以这种方式随着箭头在时间t移动到何处，即能知道我们物理系统在该时刻的状态。这样看来，这是一个决定性的过程。Q移动的方式接下彙我们要考虑可计算性:如果我们从相空间中的…个可计算的点（亦即从一个其位置和动量坐标都为可计算数的点）
6、出发，并且等待可计算的时间t,那么一定会终结于从t和初始数据计算得出的某一点吗？答案肯定是依赖于哈密顿函数H的选择。实际上，在H中会岀现一些物理常数，诸如牛顿的引力常数或光速-这些量的准确值视单位的选定而被决定，但其他的量可以是纯粹数字-并且，如果我们希望得到肯定答案的话，则必须保证这些常数是可计算的数。另一方面，为了使一个相空间的点是不可计算的断言有意义，它耍求无限精确的坐标，亦即它的所有小数位！（一个由有限小数描述的数总是可以计算的）一个数的小数展开的有限段不能告诉我们任何关于这个数整个展开的可计算性。但是,所有物理测量的精度都是有限的
7、，只能给出有限位小数点的信息。在进行物理测量时，这是否使“可计算数”的整个概念化成泡影？”的确，一个以任何有用的方式利用某些物理定律中（假想的）不可计算因素的仪器不应依赖于无限精确的测量。假定我们有一台物理仪器，为了已知的理论原因，模拟某种有趣的非算法的数学过程。如果此仪器的行为总可以被精密地确定的话，则它的行为就会给一系列数学上有趣的没有算法的是非问题以正确答案。任何给定的算法都会到某个阶段失效。而在那个阶段，该仪器会告诉我们某些新的东西。该仪器也许的确能把某些物理常数测量到越来越高的精度。而为了研究一系列越来越深入的问题,这是需要的。然
8、而，在该仪器的有限的精度阶段，至少直到我们对这系列问题找到一个改善的算法之前，我们得到某些新的东四。然而，为了得到某些使用改善了的算法也不能告诉我们的东西，就必须乞求更高的精度。
