高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明知识导航学案苏教.

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1、2.2.2间接证明知识梳理1.不是直接从命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法称为（indirectproof）.就是一种常用的间接证明方法.2.反证法：一般地，假设原命题不成立.经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做（reducationtoabsurdity）.3.反证法的证明过程为“否定_一一一”.4.反证法的一般步骤：（1）反设.（2）归谬——.（3）存真.知识导学通过本节课的学习，认识反证法在证明问题中的重要作用，学会用反证法，证明有关命题，并且要注意根据题目的类型，合理选择运用证明问题的方法

2、，学会寻找问题中的矛盾，正确推理.疑难突破1.对反证法的理解：从假设结论不成立入手，推出与“己知条件、假设、公理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法.反证法证题的特征：是通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证.反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确•即证明命题的逆否命题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反而Z反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证川作为已知使用，导出矛盾是指在假设的

3、前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.反证法适宜证明存在性、惟一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题.用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“2”的反面为的反面为“>”；“〉”的反面为；“V”的反面为“a”；的反面为“=”；“=”的反面为“工”或“〉”及“V”.反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定Z否定等于肯定”.其中：第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错Z处是“假设”易错写成“设”・反证法不是去直接证明

4、结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.2.应用反证法证明数学命题的一般步骤：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬：从反设和已知条件出发，应用正确的推理方法，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结杲.（3）存真：由矛盾结果、断定反设不真，从而肯定原结论成立.常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或己证明了的结论相矛盾；②与临时假设矛盾；③与公认的事实或自相矛盾等.典题精讲【例1】如图2-2-4所示，AB、CD为圆的两条相交弦、且不全为直径.求证：AB、CD不能互相平分.思路分析：

5、要证AB与CD不能互相平分，从正面来证明难度很大，所以正难则反，采用反证法，假设ab与CD相互平分，可以找出存在的矛盾.图2-2-4证明：假设AB、CD互相平分，连结AC、CB、AD、BD则ACBD为平行四边形.所以：ZACB=ZADB,ZCAD二ZCBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以ZACB+ZADB=180°,ZCAD+ZCBD=180°.因此，ZACB二90°,ZCAD二90°.所以，对角线AB、CD均为直径，与已知矛盾.因此，AB、CD不能互相平分.绿色通道：反证法的关键是，在正确的推理下得岀矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾;或与假设矛盾；或与

6、定义、定理、公理、事实矛盾等.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“……归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以収得优势的让棋法，它还要高明•象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”•黑色陷阱：在利用反证法证明问题时，一定要分清命题的条件和结论，假设时要对结论进行否定.【变式训练】如图2-2-5所示，在AABC中，AB>AC,AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.图2-2-5证明（反证法）假设M在线段CD上,则BDVBM二CMVDC,且a

7、b2=bd:-+adac2=ad:-+cd:；所以ab2=bd2+ad2AC矛盾，所以点"不在线段CD±.【例2】若a、b^c均为实数，且a=x2*2y+一,b=yz-2x+——，c=z2-2x+——,236求证：a、b、c屮至少有一个大于0.思路分析:命题以否定形式出现(如不存在，不相交等)，并伴有“至少……”，“不都……”，“都不……”，“没有……”，“至多……”等指示性语句，在直接方法很难证明吋，可以采用反证法.证明：假设a、b、c都不大于0,即aWO,bWO,cWO,则a+

8、b+cWO