2020年高考数学（文）一轮复习讲练测专题2.2 函数的单调性与最值（讲） 含解析

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1、专题2.2函数的单调性与最值1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那

2、么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【特别提醒】1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].考点

3、一判断函数的单调性【典例1】【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）A．B．y=C．D．【答案】A【解析】易知函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.故选A.【方法技巧】函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。【变式1】（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)【答案】D【解析】函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2

4、－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．考点二确定含参函数的单调性(区间)【典例2】（2019·大连二十四中模拟）讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】方法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a＝a，则f(x1)－f(x2)＝a－a＝.由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x

5、2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增。方法二：(导数法)f′(x)＝＝＝－当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增。【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导

6、数值的正负确定函数的单调区间．(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；【变式2】（2019·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中10,2

7、(x1＋x2)－>0，从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．考点三解函数不等式【典例3】（2019·山东潍坊一中模拟）已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C　【解析】由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求

8、解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．【变式3】（2019·广东深圳中学模拟）