2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第八章 第二节 点、线、面之间的位置关系 含答案

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1、第二节点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．②范围：.(

2、3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．[小题体验]1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为________．解析：点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”．答案：P∈m，m⊂α2．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ＝________.解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故β∩γ＝CR.答案：C

3、R3．以下四个命题中，正确命题的个数是________．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.答案：11．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直

4、线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．[小题纠偏]1．(2019·南京名校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：相交、平行或异面2．在下列四个命题中，正确命题的个数为________．①a，b是异面直线，则存在分

5、别过a，b的平面α，β，使α∥β；②a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面α，β，使α⊥β；③a，b是异面直线，若直线c，d分别与a，b都相交，则c，d也是异面直线；④a，b是异面直线，则存在平面α过a且与b垂直．解析：因为a，b是异面直线，所以可以作出两个平面α，β分别过a，b，并使α∥β，所以①正确；因为a，b是异面直线，所以存在两个互相垂直的平面分别过a，b，所以②正确；因为a，b是异面直线，若直线c，d与a，b分别都相交，则c，d相交或异面，所以③不正确；因为a，b是异面直线，若a，b垂直，则存在平面α过a且

6、与b垂直，若a，b不垂直，则不存在平面α过a且与b垂直，④不正确．答案：23．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________个．解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．答案：4　[题组练透]1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连结EF，A1B，CD1.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD

7、1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E

8、为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．[谨记通法]1．证明点共线问题的常用方法公理法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法选择其中两点确定一条