三角形内角和定理 新课

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1、讲授：【师生活动】学生动手操作，各个小组通过度量、剪拼、折叠等不同方法得出结论．【设计意图】以问题引发思考设置悬念,培养学生用数学的意识，自然导入三角形内角和的学习．学生会提出度量、拼图、折叠的方法，然后让每个学生取出课前准备的三角形纸板，并将它的内角剪下，试着拼拼看．通过小组合作交流有几种拼合方法．最后教师总结出几种拼图方法．展示结果：各个小组的成果展示．剪拼法：(1)(3)(5)(2)(4)（学生：展示拼图，简单介绍拼法）折叠法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点

2、相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果．BAC图3图2BCAACB图1BAC图4【师生活动】学生：会提出度量时三个内角和不都是180°，因为测量会有误差．教师：利用几何画板演示三个内角和是180°．引导学生总结拼图方法，为了下一步证明定理提供思路．【设计意图】让学生通过实验操作，一方面发现实验操作的局限性（视觉误差、度量误差，实验有限性与三角形个数无限的矛盾），进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程中受到启发，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法．有一些剪拼成的图形虽然能拼成180°，有验证作用，但不容易形成证明思路（图2、4

3、）．折叠的方法，教师也应给予说明，并指出以后学习了全等三角形及轴对称等内容，也可进行证明．【师生活动】教师：同学们的做法大致是将两个角剪下来拼在第三个角的同侧或异侧在顶点处形成一个平角，也有的小组将三个角剪下，发现在任何地方都能拼成一个平角，初步验证结论．【问题3】通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的内角和是180度，但这些只是有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何得到所有三角形的内角和是180度呢？【师生活动】学生小组交流，小组代表汇报结果然后汇报结果，最后达成共识．【设计意图】让学生发现实验操作的局限性（误差和实验个数的有

4、限性），进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程中受到启发，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法．【追问1】我们通过实验只能验证结论，能使用结论吗？【师生活动】学生回答：不能，只有通过证明才能使用结论．【追问2】在图(1)中，∠A和∠B拼在∠C的右侧，三个角合起来形成一个平角，应如何去证明呢？【师生活动】学生回答：需要添加辅助线．【追问3】怎么添加？【师生活动】学生回答：过点C作AB的平行线.教师：数学中重要的结论都需要严格的逻辑推理证明其正确性．在证明之前，先将图形画出来，写出已知、求证．学生：与老师互动写出已知、求证．教师：画图、板书已知

5、：△ABC求证：∠A+∠B+∠C=1800【设计意图】让学生体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用．【追问4】参考图(1)，你能写出证明过程吗？【师生活动】学生活动，教师板书，共同完成证明过程．证法１：证明:延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）这个结论正确，称为三角形内角和定理（老师板书，用彩色粉笔）【设计意图】让学生通过严格的逻辑推理证明“三角形三个内角的和等

6、于180°”,感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，所以第一种方法师生可以共同完成推理过程．并注意强调命题证明的步骤．【师生活动】在图(2)(4)中，只能验证定理，而不容易形成证明思路．教师：通过几何画板验证反例，说明问题．【设计意图】让学生发现实验的局限性（视觉误差、度量误差、实验有限性与三角形无限性矛盾），进而了解证明的必要性．【追问5】通过前面的研究，你还能找出其他证明方法吗？【师生活动】学生小组探究，学生代表到黑板板书证明过程．证法2:证明：过点A作AE∥BC∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)∠EAC+∠C=180°(两直线平行,同旁

7、内角互补)∠BAC+∠1+∠C=180°∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)【设计意图】引导学生观察剪拼后的图形中线与线的特殊位置,让学生由感性认识，上升到理性认识．用推理证明三角形内角和定理．证法3：证明：过A作EF∥BC，∴∠B=∠2∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠BAC+∠2+∠1=180°(平角定义)∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）【设计意图】启发学生添加辅助线，利用平行线的性质和平角的定义，鼓励学生独立思考，寻求证明方法．渗透“转化”的数学思想方法，在证明１、3中引导学生把三角形三个内角转化成平角；在证明2中，

8、把三角形三个内角转化成平行线下的同旁内角，从而得到180°．【师生活动】教师：还有不同的证法吗？学生：小组代