空间位置关系的判断与证明

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1、空间位置关系的判断与证明模块框架高考要求空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系B①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．　　◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．　　◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．　　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．　　◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．　　◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．　　②以立体几

2、何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．　　理解以下判定定理．　　◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面8平行．　　◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．　　◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．　　◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．　　理解以下性质定理，并能够证明．　　◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．　　◆如果两个平行

3、平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行．　　◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．　　③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分

4、别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点在直线上，记作：；点不在直线上，记作；点在平面内，记作：；点不在平面内，记作；直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作；直线不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作；直线和相交于点，记作，简记为；平面与平面相交于直线，记作．2．平面的三个公理：⑴公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语

5、言表述：如右图：8符号语言表述：⑵公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使．⑶公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图：符号语言表述：．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平

6、行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们．确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平

7、面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．8平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向

8、相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；　⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；