数学方法在物理中的应用

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1、.数学方法在物理中的应用一．极值分析数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．1．利用三角函数求极值y＝acosθ＋bsinθ＝(cosθ＋sinθ)令sinφ＝，cosφ＝则有：y＝(sinφcosθ＋cosφsinθ)＝sin(φ＋θ)所以当φ＋θ＝时，y有最大值，且ymax＝．2．利用二次函数求极值二次函数：y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x＋)＋c－＝a(x＋)2＋(其中a、b、c为实常数)，当x＝－时，有极值ym＝(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y

2、有极大值)．3．均值不等式对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值p，则当a＝b时，其积ab取得极大值；对于三个大于零的变量a、b、c，若其和a＋b＋c为一定值q，则当a＝b＝c时，其积abc取得极大值．4.函数求导二．迭代递推无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．等差：Sn＝＝na1＋d(d为公差)．等比：Sn＝(q为公比)．●例1：　如图8－2甲所示，一薄木板放在正方形水平桌面上，木板的两端与桌面的两端对齐，一小木块放在木板的正中间．木块和木板的质量均为m，木块与木板之间、木板与桌面之间的动摩擦因数都为μ..．

3、现突然以一水平外力F将薄木板抽出，要使小木块不从桌面上掉下，则水平外力F至少应为________．(假设木板抽动过程中始终保持水平，且在竖直方向上的压力全部作用在水平桌面上)A．2μmgB．4μmgC．6μmgD．8μmg【解析】解法一　F越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木块越不可能从桌面滑下．设拉力为F0时，木块恰好能滑至桌面的边缘，再设木块与木板分离的时刻为t1，在0～t1时间内有：··t12－μgt12＝对t1时间后木块滑行的过程，有：＝＝－μgt12解得：F0＝6μmg．解法二　F越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木

4、块越不可能从桌面滑出．若木块不从桌面滑出，则其v－t图象如图8－2乙中OBC所示，其中OB的斜率为μg，BC的斜率为－μg，t1＝t2有：S△OBC＝×2≤设拉力为F时，木板的v－t图象为图7－2乙中的直线OA，则S△OAB＝即(v2－v1)·t1＝其中v1＝μgt1，v2＝·t1解得：F≥6μmg即拉力至少为6μmg．[答案]　C　●例2：如图8－5甲所示，一质量m＝1kg的木板静止在光滑水平地面上．开始时，木板右端与墙相距L＝0.08m，一质量m＝1kg的小物块以初速度v0＝2m/s滑上木板左端．木板的长度可保证物块在运动过程中不与墙

5、接触．物块与木板之间的动摩擦因数μ＝0.1，木板与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹．取g＝10m/s2，求：图8－5甲(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板与墙碰撞的次数及所用的时间．(2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离．【解析】解法一　物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板从静止开始做匀加速运动．设木板的加速度大小为a，经历时间T后与墙第一次碰撞，碰撞时的速度为v1，则有：μmg＝maL＝aT2v1＝aT可得：a＝1m/s2，T＝0.4s，v1＝0.4m/s物块与木板达到共同速度之前，在每两次碰撞之间，木板受到物块对它

6、的摩擦力作用而做加速度恒定的运动，因而木板与墙相碰后将返回至初态，所用时间为T．设在物块与木板达到共同速度v之前木板共经历了n次碰撞，则有：v＝v0－(2nT＋Δt)a＝a·Δt式中Δt是碰撞n次后木板从起始位置至达到共同速度所需要的时间上式可改写为：2v＝v0－2nTa..由于木板的速率只能在0到v1之间，故有：0≤v0－2nTa≤2v1解得：1.5≤n≤2.5由于n是整数，故n＝2解得：v＝0.2m/s，Δt＝0.2s从开始到物块与木板达到共同速度所用的时间为：t＝4T＋Δt＝1.8s．(2)物块与木板达到共同速度时，木板右端与墙之间

7、的距离为：s＝L－a·Δt2解得：s＝0.06m解法二　(1)物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板做匀加速运动的加速度a1＝μg＝1m/s，方向向右物块做减速运动的加速度a2＝μg＝1m/s，方向向左可作出物块、木板的v－t图象如图8－5乙所示由图可知，木板在0.4s、1.2s时刻两次与墙碰撞，在t＝1.8s时刻物块与木板达到共同速度．(2)由图8－5乙可知，在t＝1.8s时刻木板的位移为：s＝×a1×0.22＝0.02m木板右端距墙壁的距离Δs＝L－s＝0.06m．图8－5乙[答案]　(1)1.8s　(2)0.06m●例3：如图所示，

8、一轻绳吊着一根粗细均匀的棒，棒下端离地面高为H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k＞1)．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞