向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广

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1、···向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图1如图1，已知P为ABC内一点，则PASBPCPBSAPCPCSAPB0奔驰定理证明：若PA'PB'PC'0，则P为A'B'C'重心，不妨设xPAPA',yPBPB',zPCPC'xPAyPBzP0C(1)1'

2、'

3、''SPBCxSPBC1

4、PB

5、PC''SPBC

6、PB

7、

8、PC

9、sinBPCsinBPC''2yzyzxyz2同理可得SPACyS''，SPABzS''PACPABxyzxyz''S''S'又SPBCPACPABx:y:zSSPAC:SPBCPBC:(1)式可化为PASBPCPBSAPCPCSAP

10、B0奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位············1······向量的关系，将它们放入单位圆中。图2如图2，已知、、所对的角分别为，，则P为单位圆，A，B，C在圆上，APBPCPAPsinBPsinCPsin0真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。于是整个定理就得到了证明。二、奔驰定理在向量中应用············2······

11、例1、若ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA4OB5OC0,则该ABC的面积为。答案：56答案解析：由奔驰定理得：设SOBC3x，SOAC4，xSOAB5x例2、【2016年清华领军】若OABCSAOB:SBOC:SCOA4:3:2AOABAC，为内一点，满足，设则+=答案：23例3、，且满足

12、PB

13、=2，

14、PA

15、=2，APB5，且2AP3PBPC40，则P为ABC内部一点6ABC的面积为（）94C、16A、B、D、835答案：98······三、奔驰定理推广······3······推广1、如果P不在三角形内呢？既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有

16、向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。因为我没有想出合适的符号，所以用了向量的符号。在三角函数定义时，三角函数线是有向线段，x轴上方为正，下方为负图3如图3，已知P为平面内一点，则PASBPCPBSAPCPCSAPB0EX·奔驰定理这个是对奔驰定理的推广，我称它为【EX·奔驰定理】。那么最后我们对它做进一步推广，大家可以来思考一下。推广2、【EX·奔驰定理-A】将三角形改为多边形，结论是否依旧成立？推广3、【EX·奔驰定理-B】将三角形改为棱锥，P为顶点，结论是否依旧成立？若不成立，需要如何修改？······4···