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1、综合问题例4・如图，直四棱柱ABCD—AqBiGDj的高为3,底面是边长为4且ZDAB=60°的菱形，ACDBD=O,A4C1DBqDq=Oi,E是0"A的中点.求点E到平面O-BC的距离.C
2、17.解法一在厶OiAC中，0E是△OiAC的中位线，・・・OE〃OiC・・・OE〃OiBC,VBC丄面O1OF,・••面6BC丄面OQF,过0作OH丄6F于H,则OH是点0到ffiOiBC的距离，33・・・0H=—.・・・点E到面O〔BC的距离等于一.22解法二：(1)VOOl丄平面AC,・・・00i丄0A,00〔丄0B,又0A丄OB,建立如图所示的空间直角坐标系(如图)・・•
3、底面ABCD是边长为4,ZDAB=60啲菱形，A0A=2a/3,0B=2,则A(2V3,0,0),B(0,2,0),C(-2a/3,0,0),O1(0,0,3)设平面O1BC的法向量为q=(x,y,z),则®丄0}B,丄0
4、C,2y-3z=0-2a/3x-3z=0则z=2,则x=—>/3,y=3»n}=(—>/3,3,2),I(-5/3,0,-^)•(—V3,3,2)I7(-a/3)2+32+22设点E到平面OiBC的距离为d,2—_・・・E是OA的中点，・・・m=(-V3,0,-),则dJEQwl=2In.I・・・点E到而OiBC的距离等于3.2例2・如图，四边形AB
5、CD为矩形，且仙=3=2,PA丄平面ABCD,E为BC上的动点.（1）当E为BC的中点时，求证：PE丄DE；（2）设PA=lf在线段BC上存在这样的71点E,使得二面角P-ED-A的大小为？试确定点E的位置•19.方法一：（2）证明：当E为BC-P点时，EC=CD=l,从而DCE为等腰直角三角形，则上DEC=45°,同理可得ZAEB=45:,ZAED=90于是DE丄AE,-2分又PA丄平^ABCD，且DEu平^ABCD,.・.P4丄DE,:.DE丄平面PAE,又PEu平面PAE,Z.DE1PE.EC（也对以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）（2）如图过A作A
6、Q丄QE于0,连则PQ丄DE,・•・ZPQA为二面角P-ED-A的平面角.•……8分设BE=x,贝\CE=2-x.在妣4PAQ中,•・・ZPQA=-^.AQ=P=,4・•・在人/AABE中,AE=/+/,.•・在心AAQE中,EQ=兀在RtAAQD中QQ=^3,于是DE=x+4^在&ADCE44,有(x+希匸二(2—兀尸+1解之得x=2-V3o点E在线段BC上距B点的2-V3处.方法二、向量方法.以4为原点，AB^AD^AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图.1分(1)不妨设AP=a,则P(0,0,a),E(l,l,0),Q(0,2,0),hk^PE
7、=(1,1,-a),DE=(1,-1,0),4分于是PEDE=(l,l,-o)(1,-1,0)=1-1=0,所以PE丄旋，所以PE丄DE(2)设BE=x,则P(0,0,l),E(l,x,0),Z)(0,2,0),则PE=(1,x,-1),DE=(1,x-2,0).易知向量AP=(0,0,1)为平面AEQ的一个法向虽.设平IfilPDE的法向量为n=(d,b,c)，则应有即n・DE=aa-^bx-c=0,nAP。+如-2)“解皿7,令"1,则"2,"x,一一71从而〃=(2-兀丄2),依题意cos—=■h4”AP孚即卅7t¥'解之得^=2+73(舍去)，西=2-命,所以点
8、E在线段BC上距B点的2-V3处.例3.如图，在四棱锥P—ABQ©冲，侧ffiPAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面巳也士谨面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP二MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为()DCABDABCB15.P是二而角a—AB—0棱AB上的一点，分别G,0在内引射线PM,PN,如果ZBPM=ZBPN=45°,乙MPN=60。贝J二面角a—AB—0的大小是15.90°20.(07浙江文)在如图所示的几何体中，E4丄平面ABC,DB丄平面4BC,4C丄BC,HAC=BC=BD=2AEfM是人B的中点.(1)求证：CM丄EW；(2)求
9、DE与平面EMC所成的角的正切值.20.方法一：(1)证明：因为AC=BC,M是MB的小点,所以CM丄AB.又因为EA丄平面ABC,所以CM丄EM・(2)解：连结MD,设AE=a,则BD=BC=AC=2a,在直角梯形EABD屮，AB=2y[2a,M是AB的中点，所以DE=3a,EM=区,MD=46a,因此DM丄EM.因为CM丄平ifijEMD,所以CM丄DM,因此QM丄平ifu"EMC,故ADEM是肓线DE和平hiEMC所成的角.在RtAEA/D中，MD=g,EM=辰1,tanADEM=方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA,CB分别为
