[高考数学]平面向量与解析几何综合问题

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1、b平面向量与解析几何交汇的综合问题例1．已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,且满足

2、

3、+

4、

5、=4.(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程.(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为=(1,1)的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。解：(1)=,

6、

7、=,且

8、

9、+

10、

11、=4.点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m,=因此，当时，即m=时，[题设变式I.1]已知是x,y轴正方向

12、的单位向量，设=,=,且满足

13、

14、

15、-

16、

17、

18、=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)[题设变式I.2]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,且满足=

19、

20、.求点P(x,y)的轨迹C的方程.[提示：设K(-,0)，F(,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x=-的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=-的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x=-为准线抛物线][题设变式I.3]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,且满足=

21、

22、.求点P(x,y)的轨迹C的方程.[提示：设K(-,0)，F(,0)，

23、则表示在x轴上射影，即点P到x=bb-的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=-的距离比为，当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x=-为相应准线的椭圆；当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x=-为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？][题设变式I.4]已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)[题设变式I.5]已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直

24、于KF的直线为准线的圆锥曲线。)[考题]已知点A(，0)，B(，0)动点P满足(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见附页）[题设变式II.1]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,且满足

25、+

26、=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程.(,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（－，0）)[题设变式II.2]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,且满足＝6.求点P(x

27、,y)的轨迹C的方程.(轨迹为圆)例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x0，0)，求x0的取值范围.导析（1）设P(x，y)，则H(0，y)，bb又因为所以有所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x≠0).（2）设AB：y=k(x-2)，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3).化

28、简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.所以所以DQ的方程为令y=0，得又由可得k2＞，由题意可知＜k＜1，所以1＜＜，所以＜-()2+＜1，所以2＜x0＜2+.故所求的x0的取值范围为(2，2+).[题后反思]若改变q的值能否构造出椭圆来呢？[当0＜q＜1时，点P的轨迹为椭圆]例3、如图所示，点F(a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点F(a，0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a，0)，与的夹角为，求证：0＜＜.bb[

29、答案提示]（1）点N的轨迹C的方程为[变化]点F(a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且（为常数）求点N的轨迹仍为抛物线吗？；二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。例4、已知，F椭圆的两个焦点，过点F的直线BC交椭圆于B、C两点，(1)，求点M的轨迹方程.[答案](2)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，

30、OF

31、=2

32、FA

33、，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明

34、:.解：(1)略(2)证明：.由已知得方程组注意，解得因，故.而，所以.bb[结论发散]设P()为椭圆上一点，(1)求的Min(2)求的Max(3)当<0时，的取值范围。(4)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，，求(5)已知点M的坐标为(2,3)，求的最值。(6)已知点Q的坐标为(1,1)，求的最小值(7)已知点