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1、初中数学竞赛：简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2,那么这种方程称为高次方程.一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论.本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答.例1解方程x3-2x2-4x+8=0.解原方程可变形为x2(x-2)-4(x-2)二0,(x-2)(x2-4)二0,(x-2)2(x+2)=0.所
2、以Xi=X2=2,X3=—2.说明当ad二bcHO时，形如ax"+bx'+cx+d二0的方程可这样解决：令?=7=比壬0,贝!ja=bk,c=dk,于是方程ax5+bxJ+cx4-dbd二0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0,即(kx+1)(bx2+d)=0.方程ax'+bx*cx+d二0也可以用类似方法处理.例2解方程(x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=19.解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x~14)(x2+5x+4)=19.(x2+冠
3、-14)+(/+5x+4)2y==x+5x_5,则(y-9)(y+9)=19,y2-81=19.解得yi，2=±10•将力，y2的值代入述式得-5±./85-5±V5说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之.例3解方程(6x+7)"3x+4)(x+1)二6.解我们注意到2(3x+4)二6x+8二(6x+7)+1,6(x+l)=6x+6=(6x+7)-l,所以利用换元法.设y=6x+7,原方程的结构就十分明显了.令y二6x+7,①由(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
4、得(6x+7)"6x+8)(6x+6)二6X12,即y2(y+l)(y-l)=72,y-y2-72=0,(y2+8)(y-9)=0.因为y2+8>0,所以只有y2-9=0,y=±3.代入①式，解得原方程的根为253'衍3-例4解方程12x;-56x3+89x2-56x+12=0.即解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x"的系数.与常数项相同，X3的系数与X的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程.由于X弄山方程两边同乘以丄得X12H・56x+89-—+—2~=0,XX21112(/+p)・
5、56(x4--)+89=0,xx1.112(x+-)2・56(x4--)+65=0.令x+^=y,则12护・56y+65=0,所以X513力巧，y2=T・由Yi=
6、»得x+丄=［，所以衍=2,x2zXz由『2=¥，得x+l=M，所％3=f,6x63因此，原方程的根为心=2,区2=£_12・32例5解方程2x7^22=5.解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式.2x+x+222x+2*占5,X27=7所以丄.x+2,X2X27^2~5=0,+-1x+2.J=0,+5=0或二-1=0
7、.x+2当三石+5=0时，得J+5x+10=0,这个方程无实数解.x+2当^—7-1=0时，得X—X-2=0,所以X]=・l,x2=2.x+2经检验，X]二-1,X2二2是原方程的根.例6解方程(x+3)°+(x+l)~82.分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y+l)4+(y-l)4=82,整理得y}+6y2_40=0.解这个方程，得y=±2,即x+2二±2.解得原方程的根为xlO,X2二-4.说明本题通过换元，设y二x+2后，消去了未知数的奇次项，使方程变
8、为易于求解的双二次方程.一般地，形如(x+a)1+(x+b)4=c的方程，可以用换元(设y=z+学)的方法化为双二次方程.例7解方程x-10x-2(a-11)x2+2(5a+6)x+2a+a=0,其中a是常数,且aM-6.解这是关于x的四次方程，且系数屮含有字母a,直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即az-2(x2-5x~1)a+(x4-10x3+22x2+12x)=0,A=4(x2-5x-l)-4(x4-10x：，+22x2+1
9、2x)=4(x2-2x+1).所以2(，5xl)±2(zl)所以9
10、K9a=x^-4x~2或a=x「-6x.从而再解两个关于X的一元二次方程，得X]2=2士丿巾+6,4=3±Ja+9・【练习】1.填空：⑴方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24的根为.(2)方程x3-3x+2=0的根为・(3)方程x4+2x-18x2-10x+25=0的根为・(4)方程(x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2的根为9(5)方程(血+7尸(血+3)(x4-!)=-的根为2.解方
