《平面与圆锥面的截线》教学案1

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1、《平面与圆锥面的截线》教学案一、教学目标：1.知识与内容：（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2.过程与方法：利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。3.情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。二、教学重点难点重点：（1）定理2的证明（2）椭圆准线

2、和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（2）椭圆的定义（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0

3、定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，其夹角为α，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β（π与平行，记住β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。问题：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1）.证明1：利用椭圆第一定义，证明FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.证明2：①

4、上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；②如果平面π与平面π/的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.）点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.拓展：1.请证明定理2中的结论（2）2.探究双曲线的准线和离心率3.探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果