平面向量重难点解析

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1、平面向量重难点解析课文目录2．1　平面向量的实际背景及基本概念2．2　平面向量的线性运算2．3　平面向量的基本定理及坐标表示2．4　平面向量的数量积2．5　平面向量应用举例目标：1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；重难点：重点：向量的综合应用。难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。【要点精讲】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表

2、示方法：①用有向线段表示-----(几何表示法)；②用字母、等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，。；若，，则，3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥

3、.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一）（其中）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为性质：（其中）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则：（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）三角形法则——加法法则的推广：……即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即：-=+(-)；差向量的意义：=,=,则=-③平面向量的坐标运算：若，，

4、则，，。④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+)+=+(+)⑤常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心，则7．向量的模：1、定义：向量的大小，记为

5、

6、或

7、

8、2、模的求法：若，则

9、

10、若，则

11、

12、3、性质：（1）；（实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4）（当且仅当共线时取“=”）即当同向时，；即当同反向时，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即8．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）

13、λ

14、=

15、λ

16、

17、

18、；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方

19、向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ交换律：;分配律：()·=(·)=·();——①不满足结合律：即②向量没有除法运算。如：，都是错误的（4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则=坐标运算：，则（5）向量在轴上的投影为：︱︱，（为的夹角，为的方向向量）其投影的长为（为的单位向量）（6）的夹角和的关系：（1）当时，同向；当时，反向（2）为锐角时，则有；为钝角时，则有9．向量共线定理：向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。10．平面向量基本定理：

20、如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y

21、1)11.向量和的数量积：①·=

22、

23、·

24、

25、cos，其中∈[0，π]为和的夹角。②

26、

27、cos称为在的方向上的投影。③·的几何意义是：的长度

28、

29、在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。④若=（，）,=（x2，）,则⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。⑥和的夹角公式：cos=＝⑦

30、

31、2=x2+y2，或

32、

33、=⑧

34、a·b

35、≤

36、a

37、·

38、b

39、。12.两个向量平行的充要条件：符号语言：若∥，≠，则=λ坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥

40、(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。

41、λ

42、=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意