第八章第八节曲线与方程（理科）

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1、一、选择题1．(2012·济南模拟)方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是(　　)A．一条直线和一条双曲线　　　　　B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔∴或答案：C2．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是(　　)A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即②代入①式整理可得x2＋＝1.答案：C3.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合

2、，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)A．椭圆　　　　　B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由条件知

3、PM

4、＝

5、PF

6、，∴

7、PO

8、＋

9、PF

10、＝

11、PO

12、＋

13、PM

14、＝

15、OM

16、>

17、OF

18、∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．答案：A4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)A．y2－＝1(y≤－1)B．y2－＝1(y≥1)C．x2－＝1(x≤－1)D．x2－＝1(x≥1)解析：由题意知

19、AC

20、＝13，

21、BC

22、＝15，

23、AB

24、＝14，又

25、AF

26、＋

27、AC

28、＝

29、BF

30、＋

31、BC

32、，

33、∴

34、AF

35、－

36、BF

37、＝

38、BC

39、－

40、AC

41、＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．答案：A5．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为(　　)A．y2＝2(x－1)B．y2＝4(x－1)C．y2＝x－1D．y2＝(x－1)解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，则所以，由于y＝x0，所以4y2＝2x－2.即y2＝(x－1)．答案：D二、填空题6．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹

42、方程是____________．解析：设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则

43、AA1

44、＋

45、BB1

46、＝2

47、OO1

48、＝4，由抛物线定义得

49、AA1

50、＋

51、BB1

52、＝

53、FA

54、＋

55、FB

56、，∴

57、FA

58、＋

59、FB

60、＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：＋＝1(y≠0)7．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是__________．解析：(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1

61、(x≠0，x≠1)三、解答题8.如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.求动点P的轨迹C的方程．解：法一：设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.法二：由·＝·，得·(＋)＝0，∴(－)·(＋)＝0，∴2－2＝0.∴

62、

63、＝

64、

65、.∴点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y2＝4x.9．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两

66、点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.又易得点R的坐标为(－，－1)，∴·＝(x1＋，y1＋1)·(x2＋，y2＋1)＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(＋2k)(x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋4k(＋2k)＋＋4

67、＝4(k2＋)＋8.∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.10．(2011·天津高考)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点．满足·＝－2，求点M的轨迹方程．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得

68、PF2

69、＝

70、F1F2

71、，即＝2c，整理得2()2＋－1