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1、标准文档实对称矩阵的若干简单性质张冰摘要：本论文首先介绍了转置矩阵、对角矩阵等相关定义及实对称矩阵的定义，然后对实对称矩阵的若干简单性质进行了研究与证明，包括实对称矩阵的对角化等，并且给出了具体例子.关键词：矩阵；实对称矩阵;对角化；应用 SomeBasalPropertiesofTheRealSymmetricMatrixeszhangbing（20112112147Class2Grade2011Mathematics&AppliedMathematicsSchoolofMathematics&StatisticsScience）Abstract:Thispaperfirstintrod
2、ucestheconceptsoftransposematrixes,diagonalmatrixes,realsymmetricmatrixesandsomerelateddefinitions.Thenitmakessomeresearchesandproofsonsomebasalpropertiesofrealsymmetricmatrixes,suchasthediagonalizationofrealsymmetricmatrixesandgivessomeexamples.Keywords:matrix;realsymmetricmatrix;diagonalization;a
3、pplication1引言与基本内容1.1引言矩阵是高等代数中的重要组成部分,有各种各样的问题都提出了矩阵的概念，这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，从而矩阵也是主要的研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，实对称矩阵有很多特殊性质,是研究二次型,线性空间和线性变换问题的有利工具,实对称矩阵中的一些基本性质,定理,对角化等是高等代数中的重难点.在文献[2]中,作者王文省详细给出了转置和对称矩阵的概念.在文献[3]中,作者王萼芳介绍了实对称矩阵对角化的性质,并着重强调了实对称矩阵的方法.本篇论文介绍了实对称矩阵的相关定义和若干简单性质,进一步对这些性质进行了研究与证明,并且给出了具体例
4、子，说明了其应用.实用文案标准文档1.1基本内容定义1形如的纵横排列的二维数据表格称为m行n列矩阵，简单记为，其中，，当时，A为n阶方阵.定义2一个矩阵A的行与列相互交换后得到的矩阵叫做的转置矩阵，简称的转置，记为，或者，即.定义一个矩阵，它的转置为,如果，则称为对称矩阵,如果，则称为反对称矩阵.定义对于矩阵，如果它的各个元素都为实数，并且，即，那么称为实对称矩阵.定义除主对角元外，其他元素均为0的形如的n阶方阵（主对角线上的元素可为零也可为其他），叫做对角阵.定义矩阵，如果，则称A为正交矩阵.2主要内容2.1实对称矩阵的若干性质性质如果矩阵为对称矩阵，那么也为对称矩阵，（）.证明：因为矩阵
5、为对称矩阵，所以有，又因为，实用文案标准文档，根据对称矩阵的定义得出也为对称矩阵。性质如果矩阵和矩阵都是对称矩阵，则也是对称矩阵的充分必要条件是.证明：因为矩阵和都是对称矩阵，所以有，先证必要性，设对称，那么有，又有，所以，再证充分性，设，又，所以，即是对称矩阵。性质如果矩阵A是数域p上的一个上三角形矩阵并且A也是对称矩阵，则矩阵A是个对角阵.证明：设矩阵是一个m行n列的上三角形矩阵，即，又因为矩阵也是对称矩阵，所以有即，则，（），即矩阵为对角阵.性质如果矩阵A为实对称矩阵且满足那么.分析：设，，的第行第列的元素为，对角线上的元素为，所以，证明：设，因为A为是实对称矩阵，则有，那么实用文案标
6、准文档从而（），所以（），则.性质假设矩阵为可逆对称（反对称）矩阵，那么也是对称（反对称）矩阵.证明：因为矩阵可逆，有，两边取转置得到，由为对称矩阵，有，则，所以，即也为对称矩阵，命题得证.性质若矩阵是一个n阶对称矩阵，且满足对对任意一个n维向量有，则有成立.证明：因为是对称矩阵，且，则有也就是说是一个多元零多项式，所以有，（），即证得.性质若A是一个实对称矩阵，那么当实数t充分大之后，是正定矩阵.证明：，它的k级顺序主子式为△k=,△k是关于t的k次多项式，且首项系数为1，所以，当t充分大时，△k>0,即当t充分大时，是正定矩阵.性质两个n阶实对称矩阵与实用文案标准文档相似的充分必要条件是
7、这两个矩阵有相同的特征多项式.证明：先证必要性，如果矩阵与相似，则存在一个可逆矩阵，使得，则，即两个矩阵有相同的特征多项式。再证充分性，如果与有相同的特征多项式，那它们就有相同的特征值，则存在可逆矩阵，使得，，所以，令，则，所以矩阵A与B相似.定理如果A是实对称矩阵，那么矩阵A的特征值都是实数.证明：假设是的一个特征值，那么就有非零向量，使得，令（为的共轭复数，），那么，等式,等式左边为，等式右边为，则有，又
