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《线性代数同步习题(ch5)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数同步第五章特征值习题一、填空题4.解:因为1，2，3为A的特征值，则f(A)=A3-5A2+7A的特征值分别为：f(1)=1-5+7=3；f(2)=8-20+14=2；f(3)=27-45+21=3，所以
2、A3-5A2+7A
3、=3´2´3=18。5.解:因为1，-，0为A的特征值，则B=f(A)=3A2-2A+4E的特征值分别为：f(1)=3-2+4=5；f(-)=++4=5；f(0)=0+0+4=4，所以
4、B
5、=
6、3A2-2A+4E
7、=5´5´4=100。6.解:因为A(k1x1+k2
8、x2+¼+kmxm)=k1Ax1+k2Ax2+¼+kmAxm=k1l0x1+k2l0x2+¼+kml0xm=l0(k1x1+k2x2+¼+kmxm),所以k1x1+k2x2+¼+kmxm是A属于l0的特征向量。9.解:已知Ab1=-2b1,Ab2=-2b2,设a=(0,-6,-3)T,因为a=3b1-3b2,所以A(0,-6,-3)T=Aa=3Ab1-3Ab2=-6b1+6b2=(0,12,6)T。二、选择题3.解:若b1,b2都是A属于l1的特征向量,则b3也是A属于l1的特征向量,选项A成立
9、;若b1是A属于l1的特征向量,而b2是A属于l3的特征向量,则b3不是A的特征向量;若b1,b2都是A属于l3的特征向量,l1只能对应一个特征向量b,令P=(b,b1,b2),则有P-1AP=diag(1,2,2),由2是单根,1是二重根可知这是不可能的。所以选A。5.解:设A属于l=2的特征向量为x,则(x,x1)=0,(x,x2)=0,所以x=(0,1,-1)。三、计算题1.A=.解:
10、A-λE
11、==-λ3-3λ2-1=-(λ+1)3,特征值为λ=-1。此时A+E=®®®,基础解系为p=(
12、1,1,-1)T，对应于λ=-1的全体特征向量为x=k(1,1,-1)T(k¹0)。2.A=.解:
13、A-λE
14、==(λ-1)2(λ+1)2,特征值为λ1=λ2=1,λ3=λ4=-1.当λ=1时,A-E=®®,基础解系为p1=(1,0,0,1)T,p2=(0,1,1,0)T,对应于λ=1的全体特征向量为x=k1p1+k2p2(k1,k2不全为零);当λ=-1时,A+E=®®,基础解系为p3=(1,0,0,-1)T,p4=(0,1,-1,0)T,对应于λ=-1的全体特征向量为x=k3p3+k4p4(
15、k3,k4不全为零)。3.解:因为A(a1,a2,a3)=(Aa1,Aa2,Aa3)=(a1,2a2,3a3),所以A=(a1,2a2,3a3)(a1,a2,a3)-1==。法二:因为Aa1=a1,Aa2=2a2,Aa3=3a3,所以λ=1,λ=2,λ=3是A的特征值。因为它们互不相同,所以a1,a2,a33线性无关。令P=(a1,a2,a3),则P可逆,且P-1AP=diag(1,2,3),所以A=Pdiag(1,2,3)P-1=。4.解:因为1，2，0为A的特征值，则B=f(A)=A3-2A
16、2+3E的特征值分别为：f(1)=1-2+3=2；f(2)=8-8+3=3；f(0)=0+0+3=3，B-1的特征值分别为：,,,对应的特征向量仍为a1,a2,a3;
17、B
18、=2´3´3=18。5.A=。解：
19、A-λE
20、=(5-λ)(λ+1)2,A的特征值为:λ1=λ2=-1,λ3=5,。对应λ=-1，A+E=→→x1=-x2-x3,基础解系为p1=(-1,1,0)T,p2=(-1,0,1)T,对应λ=-1的全部特征向量为x=k1p1+k2p2(k1,k2不全为零);对应λ3=5,A-5E=→→,
21、基础解系为p3=(1,1,1)T,对应λ=5的全部特征向量为x=k3p3(k3不为零);令P=(p1,p2,p3)=，则有P-1AP==Λ。6.A=.解:
22、A-λE
23、==-(λ-1)2(λ-10),所以A的特征值为：λ1=λ2=1,λ3=10。当λ=1时，A-E=，得基础解系x1=(-2,1,0)T,x2=(2,0,1)T,因为x1,x2不正交,则需施密特正交化,取p1=x1=(-2,1,0)T,p2=(2,4,5)T,再单位化为:，。当λ3=10时，A-10E=,得基础解系p3=(-1,-2,
24、2)T,对应于λ3=10的单位特征向量为：。所以正交矩阵为：，使得。7.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，求
25、A*+3A+2E
26、。解：因为1，2，-3为A的特征值，所以
27、A
28、=-6≠0，A可逆，且A*=
29、A
30、A-1=-6A-1，则f(A)=A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E，则f(A)的特征值分别为：f(1)=-6+3+2=-1；f(2)=-3+6+2=5；f(-3)=2-9+2=-5，所以
31、A*+3A+2E
32、=25。四、证明题1.设A、B都是n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA相似。证
