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《ch5,东华大学,朱兴龙,线性代数,课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第五章相似矩阵及二次型§1预备知识向量的内积定义1设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+……+xnyn,称[x,y]为向量x与y的内积.内积具有下列性质：1.[x,y]=[y,x];3.[x+y,z]=[x,z]+[y,z];4.[x,x]≥0,其中x，y，z是为向量，易知,[x,y]=xTy.当且仅当时x=0时[x,x]=0.定义2非负实数称为n维向量x的长.向量的长具有性质：长为1的向量称为单位向量.若向量x≠0,如果[x,y]=0，那么称向量x与y正交.一组两两正交的非零向量.正交向量组:那么它应满足～由得规范正交向量组:定理1正交向量组必线性无关.证设向量组a1
2、,a2,……,ar是正交向量组,类似的可证于是向量组a1,a2,……,ar线性无关.但不为正交向量组.向量组e1,e2,……,er为规范正交向量组，当且仅当若有一组数由单位向量构成的正交向量组.设向量组a1,a2,……,ar线性无关，则必有规范正交向量组正交化：单位化：于是，e1,e2,……,er是规范正交向量组，且与a1,a2,……,ar等价.e1,e2,……,er与a1,a2,……,ar等价.e1,e2即为所求.取它的一个基础解系再把b2,b3正交化即为所求a2,a3.也就是取定义3设n维向量e1,e2,……,er是向量空间V的一个基,如果向量组e1,e2,……,er为规范
3、正交向量组，则称e1,e2,…...,向量组a1,a2,a3是所求正交向量组.er是V的一个规范正交基.所以对齐次方程组定义4如果n阶矩阵A满足那么称A为正交矩阵.n阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向设n阶矩阵A=(a1,a2,……,an),其中a1,a2,……,an是或者说,n阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列A为正交矩阵，即是ATA=E,都是正交矩阵.例6（行）向量组构成向量空间Rn的一个规范正交基.A的列向量组.量组是规范正交向量组.由此可见，A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组是规范正交向量组.定义5若P为正交矩阵，则线性变换x=Py称为正
4、交变换.线性变换的系数构成矩阵于是线性变换（＊）就可以记为x=Py都为正交变换.例7若线性变换x=Py为正交变换，a,b为任意两个向量.那么这是因为特别的，§2方阵的特征值与特征向量定义6设A是n阶矩阵，和n维非零列向量p非零向量p称为A的对于特征值称为方阵A的特征多项式.称为n阶矩阵A的特征方程.(1)式也可写成使得行列式求n阶方阵A的特征值与特征向量的方法：1求出矩阵的A特征多项式,特征值.它的非零解都是例1求矩阵的特征值和特征向量.解A的特征多项式为于是，所以，A的特征值为得基础解系解方程组(A-E)x=0.由其中k为任意非零数.～得基础解系例2求矩阵的特征值和特征向量.
5、解A的特征多项式为其中k是任意非零数.～所以，A的特征值为解方程组(A-3E)x=0.由得基础解系的全部特征向量为kp1,解方程组(A-E)x=0.由其中k为任意非零数.～得基础解系的全部特征向量为kp2+lp3,其中数证对特征值的个数m用数学归纳法.由于特征向量是非零向量，所以，m=1时定理成立.量是线性无关的，令p1,p2,……,pm依次为m个不等的特征值下面证明p1,p2,……,pmp1,p2,……,pm～k,l不同时为零.依次是与之对应的特征向量,那么p1,p2,……,pm线性无关.假设m−1个不同的特征值的特征向线性无关.设有一组数x1,x2,……,xm使得x1p1+
6、x2p2+……+xmpm=0(1)成立.以矩阵A左乘式(1)两端,得（3）式减（2）式得根据归纳法假设，p1,……,pm-1线性无关，所以,x1=0,…….,xm–1=0.这时（1）式变成，xmpm=0.因为pm≠0，所以只有xm=0.这就证明了p1,p2,……,pm线性无关.归纳法完成，定理得证.于是p1,p2依次是与之对应的那么向量组p1,p2线性无关．证设有一组数x1,x2使得x1p1+x2p2=0(1)成立.以矩阵A左乘式(1)两端,得（3）式减（2）式得所以x1=0.这样（1）式变成，x2p2=0.因为p2≠0，所以只有x2=0.这就证明了p1,p2线性无关.特征向量
7、，所以有向量p≠0使，于是，求上三角矩阵练习的特征值与特征向量.的特征值．§3相似矩阵定义7设A,B都是n阶矩阵，P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同.证因为A与B相似，故定理3若n阶矩阵A与B相似，所以有可逆矩阵P，使P-1AP=B,若有可逆矩阵P，使证毕.矩阵.相似，由定理3知，定理4n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是:定理4的证明如果可逆矩阵P,使若记矩阵也就是n个线性无关的特征向量.推论若n阶矩
