浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测十一数学归纳法新人教A版选修

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1、课时跟踪检测（十一）数学归纳法层级一　学业水平达标1．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)A．Sk＋　　　　　　　B．Sk＋＋C．Sk＋－D．Sk＋－解析：选C　因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－.故Sk＋1＝Sk＋－.2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析：选D　当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和式的分母

2、的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对解析：选B　由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．6(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋

3、1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为(　　)A．2B．4C．8D．16解析：选C　f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最

4、小应当是________．解析：∵210＝1024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.答案：107．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：＋＋…＋＋＞－8．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案：59．已知数列{an}

5、满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明．解：(1)a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.(2)归纳猜想出通项公式an＝2n－1，①当n＝1时，a1＝1＝21－1，成立②假设n＝k时成立，即ak＝2k－1，6则当n＝k＋1时，由an＋1＝2an＋1(n∈N*)，得：ak＋1＝2ak＋1＝2(2k－1)＋1＝2k＋1－2＋1＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时也成立；综合①②，对n∈N*等式都成立，从而得证．10．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．证明：(1)

6、当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．层级二　应试能力达标1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n＋1　　　　B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：选C　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝

7、f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.B.＋C.＋D.＋＋解析：选D　f(n＋1)－f(n)＝＋＋.3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋k6D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2解析：选C　当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f