（浙江专版）2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（十一）数学归纳法新人教A版选修2_2.doc

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1、课时跟踪检测（十一）数学归纳法A级——学考水平达标1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.　　　　　　　　B.＋C.＋D.＋＋解析：选D　要注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)A．Sk＋B．Sk＋＋C．Sk＋－D．Sk＋－解析：选C　因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－.故Sk＋1＝Sk＋－.3．一个与正整数n有关的命题，当n＝

2、2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对解析：选B　由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝

3、(k＋1)＋1，6∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为(　　)A．2B．4C．8D．16解析：选C　f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不

4、等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.答案：107．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：＋＋…＋＋＞－8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_________

5、_______．解析：令f(n)＝(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，∴＝＝2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)9．已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明：(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·

6、(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．则当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k6＋2)·(2k＋3)2＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，即当n＝k＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立．10

7、．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49.照此规律下去：(1)写出第五个等式；(2)你能作出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．解：(1)第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜想第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，用数学归纳法证明如下：①当n＝1时显然成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时也成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(

8、k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2＋1－5k＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2＋4k＋1＝[2(k＋1)－1]2，而右边＝[2(k＋1)－1]2，这就是说n＝k＋1时等式也成立．根据①②知，等式对任何n∈N*都成立．B级——高考能力达标1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n