高中数学第7章解析几何初步7.2.2两条直线的位置关系学案湘教版必修3

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1、7．2.2　两条直线的位置关系[学习目标]1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直．3．会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直．[预习导引]1．利用法向量确定两直线的位置关系(1)两条直线平行或重合⇔它们的法向量平行．(2)两条直线相交⇔它们的法向量不平行．(3)两条直线垂直⇔它们的法向量垂直．2．两直线的夹角两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤时，α＝θ；当法向量的夹角θ>时，α＝π－θ

2、．3．定理2设直线l1，l2的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2重合⇔存在实数λ≠0，使l1与l2平行⇔存在实数λ≠0，使l1与l2相交⇔A1B2－A2B1≠0；l1与l2垂直⇔A1A2＋B1B2＝0；l1与l2夹角θ的余弦cosθ＝.10要点一　判断两直线是否相交例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.解　

3、(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组有无数组解，表明直线l1和l2重合．(3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.规律方法　方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合．跟踪演练1　判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标．(1)(2)解　(1)解方程组得该方程组有唯一解所以两直线相交，且交点坐标为(－，)．(2)解方程组②×6得2x－6y＋3＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②有无数组解

4、，所以两直线重合．要点二　判断两条直线的位置关系例2　判断下列各组直线的位置关系．(1)l1：2x＋y＋1＝0，l2：x－3y－5＝0；(2)l1：x－y＋2＝0，l2：2x－2y＋3＝0；(3)l1：3x－4y－1＝0，l2：6x－8y－2＝0；10(4)l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y＋3＝0.解　(1)对l1，l2，由≠，知l1与l2相交．(2)对l1，l2，由＝≠，知l1与l2平行．(3)对l1，l2，由＝＝，知l1与l2重合．(4)对l1，l2，由A1A2＋B1B2＝1×1＋(－1)×1＝0，知l1⊥l2.规律方法　利用法向量

5、判断．跟踪演练2　根据下列条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．(1)l1：y＝－3x＋1，l2：x＋y－6＝0；(2)l1：(lg2)x－y＋5＝0，l2：(log210)x＋y－6＝0；(3)l1经过点A(1，2009)，B(1，2010)，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)．解　(1)l1的一般式方程为3x＋y－1＝0，由＝≠，知l1∥l2.(2)对于l1，l2由A1A2＋B1B2＝lg2·log210＋(－1)·1＝0知l1⊥l2.(3)因为l1过点A(1，2009)，B(1，2010)，所以方程为x＝1，与x轴垂直．因为l

6、2过点P(0，－2)，Q(0，5)，所以方程为x＝0，即y轴，所以l1∥l2.要点三　应用位置关系求参数值例3　已知直线l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋(a2－2)y＋1＝0.问当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？解　若A1，A2，B1，B2全不为0时，联立方程组，得＝＝1，＝，＝，由＝得a＝－1或a＝1，由＝得a＝－1，所以，当a≠±1时，≠，l1与l2相交；10当a＝1时，＝≠，l1与l2平行；当a＝－1时，＝＝，l1与l2重合．若A1，A2，B1，B2中有为0的值时，当a＝0时，方程组化为，这时

7、l1与l2平行；当a2－2＝0即a＝±时，方程组化为或此时两直线相交．综上所述，(1)当a≠±1且a≠0时l1与l2相交；(2)当a＝0或a＝1时，l1与l2平行；(3)当a＝－1时，l1与l2重合．规律方法　两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；(2)也可利用法向量来直接求解．跟踪演练3　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)

8、平行；(3)重合？解　当m＝0时，则l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，∴l1与l2相交，当m＝2时，则l1：x＋2y＋6＝0，l2：3y＋4＝0，∴l1与l2相交．当m≠0，m≠2时，＝