高中数学第7章解析几何初步7.3.3.1直线与圆的位置关系学案湘教版必修3.docx

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1、第1课时 直线与圆的位置关系[学习目标]1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.[知识链接]1.直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0),直线恒过定点(x0,y0).2.圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(其中D2+E2-4F>0)3.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.[预习导引]直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法:设圆心到直

2、线的距离d=dr代数法:由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0图形要点一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?解 法一 将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得,(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴当Δ>0时,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当Δ=0时,即m=0或m=-时,直线与圆相

3、切,即直线与圆只有一个公共点;当Δ<0时,即-0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当d=2时,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当d>2时,即-

4、.(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性.跟踪演练1 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则(  )A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能答案 A解析 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得32+02-4×3=9-12=-3<0,∴点P(3,0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.要点二 圆的切线问题例2 过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.解 因

5、为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.(1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-3-4k=0.因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以=1,即

6、k+4

7、=,所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-.所以切线方程为y+3=-(x-4),即15x+8y-36=0.(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.规律方法 1.求过一点P(x0,y0)的圆

8、的切线方程问题,首先要判断该点与圆的位置关系,若点在圆外,切线有两条,一般设点斜式y-y0=k(x-x0)用待定系数法求解,但要注意斜率不存在的情况,若点在圆上,则切线有一条,用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率,再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地圆的切线问题,若已知切点,则用k1·k2=-1(k1,k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式,若不知切点,则用d=r(d为圆心到切线的距离,r为半径)列式.跟踪演练2 求过点(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.解 因为12+(-7)2=50>25,所以点(1,-7)在圆外.由

9、题意知切线斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y+7=k(x-1),即kx-y-k-7=0.∴=5.解得k=或k=-.∴所求切线方程为y+7=(x-1)或y+7=-(x-1),即4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.要点三 圆的弦长问题例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.解 法一 由得交点A(1,3),B(2,0),∴弦AB的长为

10、AB

11、==.法二 由消去y得x2-3x+2=0.设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系得x1+x2=3,x1·x2=2.

12、∴

13、AB

14、======,即弦AB的长为.法三 圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标(0,1),半径r=,点(0,1)到直线l的距离为d==,所以

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