高中数学第7章解析几何初步7.3.3.1直线与圆的位置关系学案湘教版必修3.docx

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1、第1课时　直线与圆的位置关系[学习目标]1．理解直线和圆的三种位置关系．2．会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．[知识链接]1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，直线恒过定点(x0，y0)．2．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．(其中D2＋E2－4F>0)3．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．[预习导引]直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直

2、线的距离d＝dr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0图形要点一　直线与圆的位置关系的判断例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点？解　法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相

3、切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2时，即－

4、．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性．跟踪演练1　已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能答案　A解析　将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．要点二　圆的切线问题例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．解　因

5、为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－3－4k＝0.因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即

6、k＋4

7、＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.规律方法　1.求过一点P(x0，y0)的圆

8、的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．2．一般地圆的切线问题，若已知切点，则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若不知切点，则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．跟踪演练2　求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．解　因为12＋(－7)2＝50＞25，所以点(1，－7)在圆外．由

9、题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴＝5.解得k＝或k＝－.∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.要点三　圆的弦长问题例3　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．解　法一　由得交点A(1，3)，B(2，0)，∴弦AB的长为

10、AB

11、＝＝.法二　由消去y得x2－3x＋2＝0.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.

12、∴

13、AB

14、＝＝＝＝＝＝，即弦AB的长为.法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标(0，1)，半径r＝，点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，所以