结构动力学论文

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1、探讨瑞利法求出的基本频率略大于其精确值的原因前言：从微分方程出发，研究弹性体的振动，除了一些简单情况以外，要精确求解往往是不可能的，而工程中遇到的实际结构总是比较复杂的，因此近似解法占有重要地位。目前我们学习了三种近似求解法：瑞利能量法、集中质量法、矩阵迭代法。但是通过笔者做作业吋发现运用瑞利能量法求出近似结果尽管耕度较扁，但是总是略高于耕确值。这是为什么呢？笔者通过查阅资料并思考学习出了其中原因。瑞利法简介：(1)瑞利能量法出发点(依据)瑞利法的岀发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系自由振动时•，它在任一时刻的总能量(应变能U与动能丁之和)应当保持不变，即机

2、械能二应变能(U)+动能(7)二常数位移表达式y(x,广)=Y(x)sin{a)t+a)速度表达式y(x,町=a丿/(x)cos(et+a)(2)梁的动能:T二江帀(x)[戶O’讲dx+£少,[兀(t)f—ofcos'(血+a2:祖)［心)S+討曲cot+a)Y叫丫；其最人值为:(3)同理梁的弯曲应变能2J。EIUoEIyn(兀dx=-f'EZ[Kw(x)sin(^+a)]2dx=-sin2+a)「E/[Y"(x)¥dx2Jo2J()其最大值为（4）应用能量守恒原理，可知7max=Umax丄/「历(x)[*x)2]dX+丄m.Y2=-f7ET[Yx)了d才2Jo2

3、；222Jo求解得：VEl[.Yx^AxCD1=fM[r(x)]2dx+Y/nY2J011上式即是瑞利法求口振频率的公式。2•能瑞利法求解近似值的关键瑞利能量法的关键是假设振型函数：1）若假设的位移形状函数正好与第/个主振型相符，则可求得该M•的精确值。此法一般用于计算第一口振频率w102）振型函数的假定原则：应满足边界条件——几何边界、口然边界厂两端位移边界条件（必须满足）两端力边界条件〃（尽量使之满足）坨（对位移影响较小,可以放松要求）3.运用瑞利法做作业求解近似解发现的问题例题：试用瑞利法计算图示等截面两端固沱梁的第一自振频率。设曰=常数,梁单位长度的质量为

4、。解:（1）假设振幅曲线卩⑴为心）二鑰（务-2令+宁）Zi1/3/111满足几何边界条件和力的边界条件屮梁端弯矩非零、梁端剪力为零的耍求。运用推导出来的公式qJy(xHxJ0^f7[rW]2dxJ0_720刃_504El22.45叵"『而974厉1~fin576x630(£Z)2与精确值相比，其误差为+0.4%。后面其他习题得出结果也是这样，近似解略大于精确解，或许这是一•个规律或者某种原因影响下产生的结果，于是我查阅资料和同学讨论分析其中原因。3.查阅相关资料分析得知其原因经过学习和思考，得知瑞利法的关键在于假定阵型函数，当假定的振型函数“X丿恰好是某一振型函数

5、时，即可计算出该阶固有频率的精确解。但实际上往往工程屮振型函数都比较复杂所以一般不能准确预知实际的阵型函数，而只能近似地给出第一阶振型函数。因此，瑞利法只适合估算基频。但是如果假定好热阵型函数比较接近，往往运用瑞利能量法求出的结果十分接近精确解。学习过程屮，几次作业尝试不同阵型函数我会发现不同的阵型函数得岀的结果接近精确解的程度各不相同。当然假定的第一阶振型函数越接近实际，则计算出的基频精度越好。对于梁，通常选用静挠度曲线作为基阶振型曲线。我们都知道，一般来说，假定的振型函数“X丿总是与实际的基阶振型有些差别，这就是说,振兴位移的羞别就好像我们在系统上额外加上了某种

6、约束，强迫系统按我们规定的形状Y(x)J&行振动，这样就等同于给系统附加了刚度。正因为如此，所以用瑞利法求解的基频比实际基频偏高。这就提示我们，当假定几种丿而得到不同基频结果时，应选取其中最低数值。